Egy lineáris függvény egyszerre konvex és konkáv is?

nem.

A lineáris függvény az lineáris.

a ketegóriák, hierarchiába rendezve, talán így érthetőbb:

lineáris - nem lineáris.

A nem lineáris kategória lehet konvex, konkáv, periodikus, és egyéb.

Periodikus függvény is lehet konvex,konkáv. Például a |sin(x)| függvény periodikus Pi periódussal és konkáv.

Egy konstans függvények pedig egyszerre konvex, konkáv és periódikus.

A lineáris fv. se nem konkáv, se nem konvex, mert határeset. Pontosabban a definícióban lévő egyenlőség megengedésétől függ, de általában nem engedjük meg.

A periodikus fv.-ek konvex/konkávitása pedig csak adott spec. intervallumokra értelmezhető. Pl. az |sin(valami)|-nek is lesz konkáv és konvex része egyaránt csak más-más intervallumokban.

A pontos definíció egyébként nem az, amit föntebb írtak, hanem a második deriváltakkal kifejezhető, görbület irányának megfelelő dolog. Ha intervallumokra kell bontani, akkor pedig az intervallumok végpontjainak megkereséséhez inflexiós helyeket kell keresni.