P (A) =0.2, P (A|B) =0.6. Igaz-e hogy P (B) =0.4?

én úgy ismerem, hogy

P(A) = P(A|B) · P(B) ez alapján 0,24

#2: Rosszul ismered, P(A|B) * P(B) = P(A*B)

[link]

Abban az esetben igaz, hogyha az A és B halmaz függetlenek egymástól, tehát A és B metszete az üres halmaz, például, ha az U halmaz U={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}, A={2;3}, B={5;6;8;9}, akkor annak a valószínűsége, hogy az U halmazból 1 elemet kiválasztva az A-nak is eleme, 0,2, B-nek is eleme, 0,4, vagy A-nak vagy B-nek is eleme, 0,6. Ebben az esetben igaz.

Ha viszont a B halmaz {2;3;5;6;8;9}, akkor P(A)=0,2, P(A|B)=0,6, P(B)=0,6=/=0,4, tehát sikerült ellenpéldát konstruálnunk.

Ha a szitaformula segítségével írjuk fel a valószínűséget:

P(A|B)=P(A)+P(B)-P(A*B),

ahol P(A*B) azt jelöli, amikor egyszerre teljesül A és B is, akkor látható, hogy a P(A|B)=P(A)+P(B) akkor fog teljesülni, hogyha P(A*B)=0, egyébként nem.

Bocsánat, ha az A és B függetlenek egymástól, akkor ez azt jelenti, hogy P(A metszet B) = P(A)*P(B), tehát ekkor P(A metszet B) NEM = 0.

P(A|B) = P(A metszet B)/P(B). Ekkor jelen esetben P(A metszet B) = 0.24, ha feltesszük, hogy a kérdésre IGEN a válasz. Tehát ekkor A és B nem függetlenek, hiszen P(A)*P(B) = 0.08, ettől azonban P(B) még lehet 0.4, de ez nem feltétlenül van így.

P(A) és P(A|B) önmagában nem határozza meg P(B) értékét. Viszont abban biztosak lehetünk, hogy P(B)=0,4 nem állhat elő.

P(A|B)=P(A metszet B)/P(B). Ebből átszorzással P(B)=P(A metszet B)/P(A|B) <= P(A)/P(A|B) = 0,2/0,6 < 0,4. A P(A metszet B) <= P(A) becslés igaz, mivel A metszet B részhalmaza A-nak, azaz a valószínűsége nem lehet nagyobb nála.