Mi a szerepe a Jacobi-determinánsnak, az általánosított dimenziónak és az általánosított entrópiának?

Jacobi determináns egy transzformációs tag az egyenletekben, amikor koordinátarendszert váltunk, pl kanonikusból polárba. Amellett, hogy az egyenleteket átírod a megfelelő mennyiségekkel ezzel még be kell szorozni.

Általánosított dimenzió alatt gondolom arra gondolsz, hogy a káoszelméletben vannak tört dimenziók. Ennek van egy számítási módja, a különböző kaotikus objektumoknak, mint pl a Koch-görbének vannak ilyen dimenziói.

Általánosított entrópia alatt nem tudom mire gondolsz. Alapjáraton az entrópia igazi értelmezését, ami manapság a csapból is folyik, csak a hangoztatók 99%-a azt sem tudja, hogy miért, az a rendezettség mértéke. Statisztikus fizikából alapmeggondolásokkal lehet felírni egy olyan összefüggést rá, hogy a rendszer lehetséges mikroállapotainak számának logaritmusa arányos az entrópiával. Ha a rendszernek csak egy állapota lehetséges, amikor minden nyugodt és nincs mozgás, akkor ln 1 = 0 az entrópia, tehát nulla entrópia jelenti a teljes rendezettséget. Ahogy nő a lehetséges állapotok száma, úgy nő az entrópia is, tehát minél rendezetlenebb egy rendszer, annál nagyobb lesz az entrópiája.

Az 1. válaszolót azzal egészíteném ki, hogy nem csak kitaláljuk az entrópia definícióját, amikor felírjuk rá az ln-es egyenletet.

Statisztikus fizikában először bevezetjük az információ fogalmát, a hiányzó információ az a p_i * ln(p_i), ahol P a valószínűség, pedig egy index. Megmutatható, hogy ha például p_1=1 és p_i=0 minden i>2 -re, akkor a hiányzó információ mennyisége 0, azaz teljesen ismert a rendszer. Nyilván, ez olyan mint amikor egy rendszer egy fizikai mennyiségnek a sajátállapotában van perturbálatlan térben, mindig ugyanazt a sajátértéket mérem 1 valószínűséggel.

Az entrópia a hiányzó információ mennyisége K_Boltzmann egységekben mérve.

Az első válaszban nem a Shannon-féle egyenletre gondoltam. Még annak a bevezetése előtt (bár ahogy nézzük) fel lehet írni azt amit írtam. Ott alapvetően abból indulunk ki, hogy van két egymástól teljesen elszeparált rendszerünk. Az egyesnek van N_1, V_1, E_1 részecskeszáma, térfogata és energiája, a másiknak meg N_2, V_2, E_2 részecskeszáma, térfogata és energiája van. Emellett az egyes rendszernek Ω_1 mikroállapota van, a kettesnek pedig Ω_2 mikroállapota van. Termodinamikából tudjuk, hogy ha a két rendszert összeeresztjük, akkor az entrópia additívan adódik össze, tehát a rendszer teljes entrópiája: S=S_1+S_2

A részecskeszám, térfogat és energiája is így tesz, szóval: N=N_1+N_2, V=V_1+V_2, E=E_1+E_2. A mikroállapotokra azonban ez már nem igaz. Ha a két rendszert összeeresztjük, akkor az egyes rendszer egyetlen állapotához Ω_2 lehetséges állapot fog tartozni, ergo a rendszer teljes mikroállapota Ω=Ω_1*Ω_2.

Ha ezt összevetjük az entrópia additív egyenletével és keressük az S(Ω) függvényt:

S(Ω)=S(Ω_1*Ω_2)=S(Ω_1)+S(Ω_2)

Ez pedig nem más, mint a logaritmikus függvény, hiszen csak neki van ilyen tulajdonsága, általánosan felírva:

S(Ω)=a*log(Ω)+b, tehát S(Ω) ~ log(Ω)

És innen lehet folytatni az első válasszal.