Adott egy kezdeti érték probléma: xy'=2 (x^2) y y (1) =1 Hogy oldom meg?

y' = 2xy, amiből y=c*e^(x^2). A c-t nem tudjuk még, ehhez kell a kezdeti érték: c*e^1 = 1, azaz c = 1/e.

Tehát y = 1/e * e^(x^2) = e^(x^2 - 1).

Ahogy #6-os mondja, de gondolom azt a lépést nem látod, amikor is az y'-t úgy írod fel, hogy dy/dx. Tehát

dy/dx = 2 * x * y. Ezután szorzol dx-szel és osztasz y-nal, hogy a változóid külön oldalra kerüljenek:

1/y * dy = 2 * x * dx. A két oldalt így már külön-külön integrálhatod.

1/y primitívfüggvénye ugye log(y) (+konstans), 2x-é pedig x^2. Tehát:

log(y) = x^2 + c. Ebből pedig y = e^(x^2 + c) = c*e^(x^2) már egyenesen következik.

De ránézésre is nyugodtan meg lehet oldani ezt a diffegyenletet, az is egy tökéletesen szabályos dolog. Olyan függvényt keresel, aminek a deriváltja önmaga szorozva 2x-szel. Az "önmaga" rész alapján tudjuk, hogy exponenciális, azaz c*e^(valami) alakú lesz, a 2x-szel szorzás pedig nyilván a láncszabályból jön, azaz az exponenciális függvény hasában levő valaminek a deriváltja 2x kell legyen. Ami pedig tudjuk, hogy az x^2-re igaz. Remélem így már minden világos.