Hol van a test súlypontja?

Az, hogy az új súlypont a két gömb középpontjának a tengelyén lesz, nyilvánvaló, hiszen ez egy forgásszimmetrikus test lesz.

Vegyük ezt a tengelyt. Tegyük meg a nagy gömb középpontját az origónak, és nevezzük negatív iránynak a kis gömb irányába eső felét.

A kis gömb súlypontja -r/2-ben van és 1/8 m tömeget helyettesít. A lyukas gömb súlypontja az ismeretlen x-ben van, és 7/8 m tömeget helyettesít.

A két gömb közös súlypontja az origóban van, hiszen ez volt egykoron a nagy gömb. Tehát tudjuk, hogy:

(-r/2)*1/8*m + x*7/8*m = 0, amiből kijön, hogy x = -r/14. Azaz a nagy gömb középpontjától a kis gömbbel ellentétes irányban, a sugár 1/14-ére van.

Heló!

Szeretném kiegészíteni az első válaszadót, és magyarázatot adni mi miért mennyi, mert azt a válaszadó nem fedi le teljesen. Továbbá egy csekély logikai hibát vét, ami magyarázatra, vagy "javításra" szorul.

Logikai hiba:

A kis gömb súlypontját r/2 távolságra mérni a nagy gömb középpontjától azt fogja eredményezni, hogy a keresett súlypont a nagy gömb középpontjának az átellenes oldalán található. Ez esetben az r/2 pozitív előjelű, mivel távolság.

Továbbá - A lyuk súlypontjának, és a nagy gömb súlypontjának közös súlypontját súlyozott számtani középpel lehet kiszámítani, melyben a súlyozás a tömeg, és melyben a lyuk miatt a nagy gömbből hiányzó kis gömb tömeg negatív előjelű. A kis gömb középpontja, és a nagy gömb középpontja közötti távolság továbbra sem kap negatív előjelet.

r/2 távolság az csak pozitív tud lenni, mert nem létezik negatív távolság.

A nagy gömb térfogatában hiányzik a kis gömb tömege, tehát a kis gömb tömege lesz negatív előjelű - Így egy pontosabb megközelítés így szólna:

r/2 * (-1)*kistömeg + x*(nagytömeg - kistömeg) = 0

vagy

r/2 * (-1)*kistömeg + x*(nagytömeg + (-1)*kistömeg) = 0

Koordináta rendszeri vonatkozás:

A fenti képlet segítségével egy derékszögű koordinátarendszerben x tengelyen fogjuk megkapni a súlypont koordinátájának x komponensét úgy, hogy a kis gömb középpontjának koordinátájában az x komponens egyenlő r/2 vel, és mindkét gömb középpontjának koordinátájában az y komponens egyenlő nullával. ha y nem egyenlő nullával, de minden említett esetben ugyan annyi, akkor ugyan úgy megkapjuk a súlypont koordinátájának x komponensét.

Az alábbiakban x-re rendezem a képletet úgy, hogy a súlyozott számtani közepet használom, és az előző képletben az x, az itt x[e] (azaz eredmény x):

x[e] = (x[n]*nagytömeg + x[k]*(-1)*kistömeg) / (nagytömeg + (-1)*kistömeg)

ahol:

x[e] az eredmény súlypont koordináta x komponense

x[n] a nagy gömb közepének koordinátájának x komponense

x[k] a kis gömb közepének koordinátájának x komponense

Ebben az esetben már lehet negatív az x[k], mert nem távolság, és mert x[n] nem feltétlenül egyenlő nullával - természetesen a "szabályos kifli" alak megtartásának erejéig

A válaszadó nem mondja el, hogy miért pont 1/8 a kis gömb tömege a nagyéhoz képest:

A válaszadó feltételezése az 1/8 -al kapcsolatban onnan ered, hogy a gömb egy 3 dimenziós test. Mivel a nagy gömb sugár, és a kis gömb sugara között egyenes arányosság van, a kis gömb térfogata köbös arányban fog a nagy gömb térfogatához mérődni. Ha például ugyan ilyen sugarú körök lennének, amelyeknek a súlypontját terület alapján szeretnénk meghatározni, akkor négyzetes arányban vennénk a területeket. Ha két ilyen hosszú szakasz lenne hasonló esetben, akkor egyenes arányban vennénk a hosszokat. (lásd a példákat lejjebb)

Például:

Gömbök esetében (3 dimenzió)

térfogat "szorzó" => (2^(-1))^3 = 2^(-3) = 1/(2^3) = 1/8 térfogat

Körök esetében (2 dimenzió)

terület "szorzó" => r/2 => (2^(-1))^2 = 2^(-2) = 1/(2^2) = 1/4 terület

Szakaszok esetében (1 dimenzió)

hossz "szorzó" => r/2 => (2^(-1))^1 = 2^(-1) = 1/(2^1) = 1/2 hossz

Térfogat összefüggése a tömeggel.

Mivel homogén sűrűség feltételezhető a feladatban, így a gömbök tömege egyenesen arányos a térfogatukkal.

Megjegyzés:

Ha a kis gömb sugara a harmada lenne a nagy gömbének, akkor a térfogat "szorzó" a következő képpen alakulna:

(3^(-1))^3 = 3^(-3) = 1/(3^3) = 1/27 térfogat

Ilyen esetben szükségünk van a kis gömb távolságára a nagy gömb középpontjától, ami már nem biztos hogy r/3 (vagy r/2) - tehát nem ezzel a számmal kell megszorozni a negatív kis tömeget a képletben, hanem a gömb középpontok távolságával - ami továbbra is csak pozitív lehet.