Tuđnátok mondani laikusok számára bonyolultnak és hosszúnak tűnő matekos képleteket, amiknek egész szám az eredménye?

Például:

[link]

Még néhány:

[link]

[link]

[link]

vagy lehet válogatni:

[link]

Ebbe elég sok mindent beletettem:

{n=1 to inf} sum n*fibonacci(n)/√2^(√76*n/√19+3)*e^(ln(√2))*sin(pi*(√52*n/√13+√3/√12))

[link]

Na akkor közelítsük meg a kérdést a „hogyan lehet ilyeneket kreálni” oldaláról.

Mondjuk írjunk egy olyan kifejezést, aminek az értéke 1. Végezzünk rajta műveletet, meg annak az ellentétét. Alkossunk valami triviális, még hasra ütéssel megalkotható képletet:

1 = (6 - 3) / 2

Remek. Akkor most végezzünk vele műveletet, meg annak az ellentétét. Pl. néhány összefüggést használjunk ki:

x = e^(ln(x))

x = √(x²)

Akkor mondjuk az elsőt alkalmazzuk az előző képlet első tagjára, a másodikat meg a másodikra:

(6 - 3) / 2 = ( e^(ln(6)) - √(3²) ) / 2

[link]

Aztán lehet keménykedni. Pl.: sin(π/3) = 0,5

A kettővel való osztást pl. kicserélhetjük erre:

( e^(ln(6)) - √(3²) ) / 2 = ( e^(ln(6)) - √(3²) ) * sin(π/3)

[link]

Az Euler-féle szám is sokféle összefüggésben megtalálható. Pl. ( [link] ):

e = sum[n=0→inf] 1/n!

Remek. Akkor helyettesítsük is be az előző képletbe:

( e^(ln(6)) - √(3²) ) * sin(π/3) = ( (sum[n=0→inf] 1/n!)^(ln(6)) - √(3²) ) * sin(π/3)

[link]

Van egy csomó végtelen összeg. Pl. a π-nek van egy raklap ilyen formája ( [link] )

Mondjuk szemeljünk ki egy egyszerűbbet, ha már emlegettük Eulert, akkor az Euler-féle sort: [link]

Ez ugye így néz ki:

π² / 6 = sum(n=1→inf) 1/n²

Jó, célozzuk meg a benne lévő hatost:

6 = π² / ( sum(n=1→inf) 1/n² )

Remek, írjuk be az előző képlet hatosa helyett:

( (sum[n=0→inf] 1/n!)^(ln(6)) - √(3²) ) * sin(π/3) = ( (sum[n=0→inf] 1/n!)^(ln(π² / ( sum(n=1→inf) 1/n² ))) - √(3²) ) * sin(π/3)

[link]

Mit vigyünk még bele? Pl. komplex számokat. i² = -1

Remek, akkor -i² = 1, azaz -3i² = 3. Írjuk is be az egyik 3-as helyére:

( (sum[n=0→inf] 1/n!)^(ln(π² / ( sum(n=1→inf) 1/n² ))) - √(3²) ) * sin(π/3) = ( (sum[n=0→inf] 1/n!)^(ln(π² / ( sum(n=1→inf) 1/n² ))) - √((-3i²)²) ) * sin(π/3)

[link]

Nos, aztán innen úgy lehet fokozni, ahogy akarod.

Na jó, ez tényleg nem az én napom. :-)

A (6-3) / 2 az sehol nem egyenlő eggyel. (Hiába, lehet, hogy aludnom kellene inkább.)

De semmi gond, gyorsan korrigálható a dolog, csak be kell az előző képletemet szorozni 2/3-al. :-)