Valaki megmagyarázná ezt a paradoxont?

> „Ha nem változtatok azzal is döntök…”

Ha kiszórod a pénzed az ablakon azzal is döntesz, csak nagyobb valószínűséggel veszítesz vele pénzt. Itt is, ha az eredeti ajtót választod, akkor 2/3 eséllyel veszíted el az autót.

A paradoxon matematikailag kikezdhetetlen. Fel lehet sorolni az eseteket, és egyértelmű az eredmény. Ha gondolod ki is kísérletezheted a dolgot. Nyugi, nem hibás. A kérdés nem az hogy igaz-e hanem hogy hogyan tudod megérteni.

Felejtsd el hogy 50-50% az intuíciód. Nem úgy oldasz meg egy feladatot, hogy nekem ez intuitív és kész. Bontsd esetekre. Ha kecskét választottál eredetileg, akkor a váltással nyersz. Ha az autót választottad eredetileg akkor vesztesz. 2/3 eséllyel választottál kecskét, tehát 2/3 eséllyel nyersz a váltással.

Oké, próbáljuk fordítva, vegyünk két eltérő stratégiát követő játékost megnézni.

I. Van egy Károly nevű játékos. Károly meg van győződve arról, hogy a legjobb stratégia, ha kitart a döntése mellett, ezért mindig ezt a stratégiát követi. Károly 300-szor játssza ezt a játékot. (Ezért kicsit olyan, mintha Károly esetén fel sem ajánlja a műsorvezető a változtatás jogát, hanem csak egymás után kinyitja a két megmaradt ajtót, elsőre egy olyat, ami mögött kecske van.)

- Károly 100 játék során elsőre eltalálja az autót. Mivel ő ilyen kitartó típus, ezért ebben a 100 játékban nyer is, hiszen az elsőre eltalált autós ajtó mellett tart ki.

- Károly 200 játék során nem találja el elsőre az autót. Mivel kitart a döntése mellett, így ez így is marad, hiszen az első el nem talált, kecskés ajtó mellett tart ki.

Károly:

Nyer: 100 esetben

Veszít: 200 esetben

II. Van egy Vilmos nevű játékos. Vilmos meg van győződve arról, hogy a legjobb stratégia, ha változtat a döntésén, ezért mindig ezt a stratégiát követi. Ő is 300-szor játssza ezt a játékot.

- Vilmos 100 játék során elsőre eltalálja az autót. De mivel ő változtat a döntésén ezért aztán otthagyja az elsőre kiválasztott ajtót, és másikat választ, tehát mindenképpen veszít.

- Vilmos 200 játék során elsőre nem találja el az autót. Egy vesztes ajtót talál el. Mivel a játékvezető felfed egy másik vesztes ajtót, a változtatása biztos, hogy olyan ajtóhoz vezet, ami mögött autó van:

Döntés előtt: [K] – [K] – [A]

Mondjuk az első ajtót választotta: {{K}} – [K] – [A]

A műsorvezető egy olyan ajtót nyit ki, amit Vilmos nem választott és kecske van mögötte. Ilyen ebben az esetben egy van: {{K}} – ] K [ – [A]

Vilmos tehát a változtatásával mindenképpen az autót fogja választani: [K] – ] K [ – {{A}}

Vilmos:

Nyer: 200 esetben

Veszít: 100 esetben

Bár már lassan egy tucatnyi embernek, és egy meglepően jó wikipedia cikknek nem sikerült, azért én is teszek egy próbát.

Amikor a három ajtót látjuk, abból indulunk ki, hogy az autó azonos valószínűséggel lehet bármelyik mögött (természetesen lehet, hogy nem így van, például a műsor készítői előszeretettel rakják az egyik ajtó mögé, de erről nincs információnk, így a fenti a legjobb becslés, amit tudunk tenni). Ha ez teljesül, akkor 1/3 eséllyel van az autó az általunk választott ajtó mögött.

A műsorvezető kinyit egy másik ajtót, ami mögött kecske van. Az ő választása azonban nem független a miénktől, hiszen ha olyan ajtóra böktünk, ami mögött kecske volt, azzal az ő döntését is meghatároztuk!

A játék kezdetekor egyharmad eséllyel találtuk el a megfelelő ajtót. Ebben az esetben nyilván rosszul járunk, ha változtatunk. Ugyanakkor kétharmad eséllyel rossz ajtót választottunk. Mivel a műsorvezető a másik két ajtó közül csak azt nyithatja ki, ami mögött nincs autó, ezért amennyiben rosszul tippeltünk elsőre, biztos, hogy a másik zárt ajtó mögött lesz az autó. Mivel kétszer akkora a valószínűsége, hogy elsőre tévedtünk, mint hogy eltaláltuk, és tévedés esetén 100%, hogy a másik ajtó mögött van a kocsi, megéri váltani.

"Szerintem ez a paradoxon hibás, beterjesztem magam a Wolf-díjra."

Én előtte ajánlanám, hogy tanulj egy kis valószínűség számítást, és utána gondold át (az eddigieknél jóval alaposabban) a problémát.

Én is beugrok még egyszer. Amint azt már említették, az a baj, hogy nem tudsz elvonatkoztatni, "think-out-of-the-box" módon megközelíteni a problémát. Annyira alapvetésnek tűnik neked, hogy ha 2 ajtó van, akkor 50-50% eséllyel nyersz, hogy egyszerűen fel sem merül, hogy ezt meg kellene kérdőjelezni. Pedig kéne, mert itt van a paradoxon megoldása, és az, hogy nem kapsz Wolf-díjat (te sem).

Addig tiszta, hogy ha van két ajtó, és az egyik mögött kecske van, akkor 50% eséllyel nyersz. Ahol elrontod a 3 ajtós problémát, az az hogy Monty NEM 50-50% eséllyel nyit ki egy ajtót, HA KECSKÉS AJTÓT VÁLASZTOTTÁL. Ilyenkor ő MINDENKÉPPEN AZT AZ AJTÓT NYITJA KI, AMELYIK MÖGÖTT A KECSKE VAN. Ha ezt megérted, hogy az esetek 2/3-ában Monty RÁ VAN KÉNYSZERÍTVE, hogy melyik ajtót nyissa ki, akkor megértetted a paradoxont is. :)

Meg lehet máshogyan is közelíteni a problémát;

választasz egy ajtót, de most a műsorvezető nem nyitja ki a kecskés ajtót, hanem felajánlja, hogy vagy maradsz a választott ajtónál, vagy kinyithatod a másik kettőt, és ha ott a kocsi, akkor elviheted. Ebben az esetben 2/3 valószínűséggel elviszed a kocsit.

Ha kinyitja a kecskés ajtót, akkor több információnk van, mint az előbb felvázolt esetben, az meg matematikailag lehetetlen, hogy ha valamiről több információnk van, akkor kevesebb esélyünk legyen a választással nyerni, tehát a 2/3-os valószínűség semmi szín alatt nem csökkenhet 1/2-re.

De ha tényleg nem hiszel az eddig tárgyalt megoldásokban, akkor le lehet vezetni igazságtáblázattal (hosszadalmas ugyan, de szépen bemutatja), ez is megtalálható az általad linkelt cikkben, viszont ez csak egy részlete a teljes igazságtáblázatnak (le is írják, hogy a többi felesleges), de ha felvázolod az összes lehetséges helyzetet, akkor is kijön a 2/3.

Általánosságban elmondhatjuk, hogy ha n>2 darab ajtó van, ebből 1 mögött autó, n-1 mögött kecske van, és a műsorvezető A VÁLASZTÁSUNK UTÁN kinyit n-2 darab kecskés ajtót, akkor a váltással (n-1)/n valószínűséggel nyerünk.

" A paradoxon matematikailag kikezdhetetlen. Fel lehet sorolni az eseteket, és egyértelmű az eredmény. Ha gondolod ki is kísérletezheted a dolgot. Nyugi, nem hibás. A kérdés nem az hogy igaz-e hanem hogy hogyan tudod megérteni. "

-Pontosan egyetértek. Annyival egészíteném ki, hogy nehogy valami laikus azt gondolja, hogy a "matematikailag kikezdhetetlen" azt jelenti, hogy valami elméleti dologról van szó és a valóság teljesen más. Tényszerűen maga a valóság az, amit a valószínűségelmélet ad.

-Az, hogy mi mit gondolunk egy esemény valószínűségéről, teljesen mindegy, attól az nem fog változni.