Hamilton-operátor levezetésénél, hogyan kerül '-i' az impulzushoz?

Mert koordinátareprezentációban ez az impulzusoperátor.

Ez azzal van összefüggésben, hogy kvantummechanikában az impulzus a térbeli eltolás infinitezimális generátora, vagyis az unitér T transzlációs operátor így írható:

T = exp(-ipx/h_vonás), ahol p hermitikus operátor, x pedig a transzláció mértéke (vagyis egy valós szám). Mivel ez transzlációt fejez ki, ezért azt írhajtuk, hogy koordinátareprezentációban egy pszi(x) hullámfüggvény esetén azt infinitezimálisan kis dx távolsággal arrébb tolva, lineáris közelítésben egyrészt:

pszi(x-dx) = T(dx)*pszi(x) = exp(-ipdx/h_vonás)*pszi(x) = (1 - ipdx/h_vonás)*pszi(x) = pszi(x) - ipdx/h_vonás * pszi(x),

másrészt pszi(x-dx) Taylor-sorfejtése alapján az is igaz, hogy

pszi(x-dx) = pszi(x) - (dpszi/dx) * dx.

A kettőt összehasonlítva kapjuk, hogy

ip/h_vonás = d/dx ----> p = -i*h_vonás*d/dx

Ez pedig 3D-ben éppen i*h_vonás*nabla.