Mi a gyökkritérium alkalmazásának lényege?

El kell dönteni egy sorról (vagyis egy sorozat összegéről), hogy konvergens-e. Ha a sorozat n-edik tagja valaminek az n-edik hatványa (vagy hasonló...), akkor erős az esély, hogy a gyökkritériummal el tudod dönteni, hogy a sor konvergens-e.

Mondjuk:

1)

Σ ((n+2)/(5n))^n

Itt ⁿ√a_n = (n+2)/(5n)

Annak a határértéke n→∞ esetén 1/5, vagyis egy adott n-től kezdve ⁿ√a_n kisebb 1-nél (valójában minden n-re). A gyökkritérium alapján ez a sor konvergens.

2)

Σ (1-1//n)^n²

Itt nem is n, hanem n² a hatványkitevő!

ⁿ√a_n = (1-1/n)^n

Ennek a határértéke n→∞ esetén 1/e, vagyis minden n-re ⁿ√a_n kisebb 1-nél. A gyökkritérium alapján ez a sor konvergens.

3)

Σ 100ⁿ/n¹⁰⁰

Itt is van n-edik hatvány, de n-edik gyököt vonva belőle nem kapunk használható kifejezést. Vagyis a gyökkritériumot nem igazán érdemes használni. A hányadoskritérium viszont működik:

a_n+1/a_n = 100·[n/(n+1)]¹⁰⁰

Ennek a határértéke a végtelenben 100. Mivel az 1-nél nagyobb, vagyis adott n fölött minden hányados 1-nél nagyobb, ezért a hányadoskritérium szerint a sor divergens.