Jók a bizonyítások? (lent)

1. Igazoljuk, hogy az olyan törtek, melyek nevezője nem osztható 2-től és 5-től különböző prímszámmal, véges tizedes törtté alakíthatók.

2. Igazoljuk, hogy közönséges törtet tizede störtté alakítva nem keletkezhet olyan periodikus tizedes tört, melynek valahonnan kezdve minden tizedesjegye 9.

1. Az 1/2 és az 1/5 véges tizedes törtté alakítható.

Minden olyan tört, aminek nevezője nem osztható 2-től és 5-től különböző prímmel, valamint számlálója 1, az az (1/2)^k * (1/5)^l alakú, ahol k,l pozitív egészek. Mivel véges tizedes törtek szorzata véges tizedes tört, ezért csak azt az esetet kell bizonyítani, ahol a nevező nem 1. Ez azonban egy ilyen alakú tört egésszerese, ezzel készen is vagyunk.

2. Indirekt bizonyítunk.

Feltesszük, hogy van ilyen közönséges tört.

Legyen ez a tört

c/d

Akkor ez ilyen alakú, hogy:

c/d=a1a2...ak,b1b2...bl9999... (az egész jobb oldal felülvonás, csak azt nem tudtam kiírni)

Akkor szorozzuk meg mindkét oldalt 10^k-nal.

(10^k)c/d=a1a2...akb1b2...b1,999...

A jobb oldalra továbbá:

a1a2...akb1b2...b1,999...=a1a2...akb1b2...b1+3*0,333...

Csakhogy 3*0,333=0,999=3*1/3=1 miatt ellentmondásra jutottunk, amiből csak úgy szabadulhatunk, ha feltesszük, hogy bebizonyítottuk, hogy nincs olyan közönséges tört, aminek tizedes tört alakjának valahonnan kezdve minden jegye 9.