Hogy lehet megoldani a példákat? A lépések is fontosak, nem csak a végeredmény. 1. ) ∫x^9 / (x^4−1) ^2 dx 2. ) ∫ch^6x dx 3. ) ∫ (5^2x +cos2x) ^2 dx

Nem oldom meg helyetted, de ötletet adok:

1. Alkalmazol egy polinomosztást. Ebből lesz egy összeg. Egy hatvány (amit már könnyű integrálni) ill. egy k

onst/(x^4-1) tag.

Ez utóbbi nevezőjét felírod úgy h. (x^2+1)(x-1)(x+1).

Ezután parciális törtekre bontasz, innen tiszta sor.

2. Többféle megoldás lehetséges, a legegyszerűbb talán, ha áttérsz exponenciális alakra, emlékül:

ch(x)=[e^x+e^(-x)]/2.

Ezután az integrandus olyan tört lesz, melynél az Euler-szám kitevőjébe valami konstans*x lesz.

Azaz e^(konst*x) alakú. Ez természetesen átírható

(e^x)^konst alakba. Innen jön az ötlet, hogy alkalmazz egy helyettesítést:

t=e^x; amiből x=ln(t); és dx=dt/t.

Innentől kezdve t-re nézve racionális törtfüggvény az integrandus, amit az 1. példában leírt módon számolhatsz.

Azaz polinomosztasz(ha kell) és parc. törtekre bontasz.

(Az utóbbi elkerülhetetlen).

3. Ezek elemi függvényként kezelhetők.

Tekintsünk egy u=2x helyettesítést, így du=2dx, így:

0,5*∫(5^u+cos(u))du.

Emlékül b^x integrálja (b^x)/ln(b)

cos(u) integrálja sin(u).