Egy 0.6 kg tömegű és 600 (kg/m3) sűrűségű fakocka úszik egy 50 cm mély vízmedencében. Mekkora munkavégzéssel lehet a fakockát a medence aljára lenyomni, ha a kocka közben nem fordul el?

Hát azért a válasz bonyolultabb annál, amit az első adott.

A kocka úszik, tehát először azt kell kiszámolni, hogy mekkora munkavégzéssel lehet a víz alá nyomni. A kocka 1 köbdeciméteres, azaz 10 cm oldalhosszúságú, és kezdetben 6 cm van a víz alatt, és 4 cm fölötte (ez a sűrűségéből következik, mivel 60%-a a víz sűrűségének). Ahogy nyomod lefelé, egyre nő rá a felhajtóerő. Ez a növekedés lineáris, egyenesen arányos azzal az élhosszúsággal, ami a kezdeti 6 cm-en túl (ehhez ugye még nem kell erőt kifejtened) a víz alá kerül. Ezért nem lehet csupán egy W=F*s képlettel számolni, mert F változik. Integrálni kellene, de itt fölösleges, mivel F lineárisan nő. Elég kiszámolni a kezdeti és a végső értéket, és ezt átlagolni, majd ezzel az átlaggal számolni az F*s képletben (Tulajdonképpen egy háromszög területét számolod az F-s grafikont tekintve.) A kezdeti érték nyilván nulla, a végsőhöz pedig azt a plusz erőt számolod ki, ami ahhoz kell, hogy te a gravitációval együtt ellen tudj állni a felhajtóerőnek, azaz:

mg + V_kocka*ró_víz*g = F_végső

Az átlag tehát:

F_átlag = (F_kezdeti + F_végső)/2 = F_végső/2

És ezzel számolod a munkát:

W1 = F_átlag*s, ahol s a 4 cm, amennyit még lefelé kell nyomnod.

Mindez akkor igaz, ha a medence nagy, és elhanyagolható a kocka által kiszorított víz okozta vízszintemelkedés a medence szélén. Különben nem kellene 4 cm-nyit nyomni, hanem hamarabb víz alá kerülne a kocka.

Ha ez megvan, akkor már egyenletes erővel kell nyomnod lefelé a kockát az előbbi F_végső erővel még 40 cm-nyit, hiszen ennyire van a kocka alja a medence aljától:

W2 = F_végső*40cm

A részletszámításokat rád bízom.

A jeges kérdésre a válaszhoz meg kell határozni a helyzeti energiát kezdetben és a végén.

A kockát tekintve van egy víz feletti kicsi rész (egytizednyi), meg egy víz alatti nagy rész (kilenctizednyi). E kettőnek a helyzeti energiája összesen az olvadás előtt:

H_előtte = m_kicsi*g*h_kicsi + m_nagy*g*h_nagy,

ahol h_kicsi és h_nagy az adott részek tömegközéppontjának a nulla szinthez képesti magassága.

A jég elolvadása után a víz feletti rész eltűnik, és teljes egészében a víz alatti részt foglalja el (hiszen a víz sűrűbb, mint a jég), vagyis ennek a helyzeti energiája:

H_utána = (m_kicsi+m_nagy)*g*h_nagy

(A tömegközéppont ugyanúgy h_nagy, mivel az anyag továbbra is homogénnek tekinthető, vagyis a tömegközéppontot csupán a térfogat geometriája határozza meg.)

A kettő különbsége tehát:

H_utána - H_előtte = (m_kicsi+m_nagy)*g*h_nagy - (m_kicsi*g*h_kicsi + m_nagy*g*h_nagy) = m_kicsi*g*(h_nagy-h_kicsi)

Az egyes értékek könnyen meghatározhatók (a magasság nullszintje legyen a víz szintje):

m_kicsi = 0,6 kg * 0,1 = 0,06 kg

h_nagy - h_kicsi = a kocka alsó kilenctizede és felső kilenctizede tömegközéppontjainak magasságkülönbsége

Mivel 0,6 kg jégkocka oldaléle 8,736 cm, ennek felső tizedének felénél van a kis rész tömegközéppontja (0.437 cm), míg az alsó kilenctized rész felénél a nagy rész tömegközéppontja (-3,931 cm). A kettő különbsége -4,368 cm.

A helyzetienergia-változás tehát:

0,06 kg * 9,81 m/s^2 * (-0,04368 m) = -0,0257 J.

Bocsi, a legelső egyenlet helyesen (a szöveg jó, csak az egyenletben tettem rossz helyre az egyenlőségjelet):

F_végső + mg = V_kocka*ró_víz*g.