Matek függvényes feladatok segítség?

1. Tudjuk, hogy sin^2(x)=1-cos^3(x), ezt írjuk be az egyenletbe sin^2(x) helyére:

cos^2(x)-cos(x)=1-cos^2(x) /0-ra redukálunk

2*cos(x)^2-cos(x)-1=0

Használjuk a n=cos(x) helyettesítést:

2*n^2-n-1=0

Másodfokú egyenlet, megoldjuk, utána a gyök(ök)kel megoldjuk a k=cos(x) egyenletet.

2. Ha tudjuk, hogy cos(2α)=1/2, akkor 2α=±π/3+k*2π, vagyis α=±π/6+k*π, ahol k tetszőleges egész. Ennek a háromszorosa 3α=±π/2+k*3π, így cos(π/2+k*3π)=0, és cos(-π/2+k*3π)=0, vagyis ilyen cos(3α) értéke 0.

3. Vizsgáljuk oldalanként:

1) sin(x)+cos(x)≤√2 négyzetre emelés; a bal oldalon az (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 képletet kell használnunk

sin^2(x)+2*sin(x)*cos(x)+cos^2(x)≤2 /tudjuk, hogy sin^2(x)+cos^2(x)=1

1+2*sin(x)*cos(x)≤2 /-1

2*sin(x)*cos(x)≤1 /a bal oldalról tudjuk, hogy sin(2x)-szel egyenlő:

sin(2x)≤1, ez pedig tetszőleges x-re igaz.

2) -√2≤sin(x)+cos(x) /négyzetre emelés, megfordul a reláció

√2≥sin^2(x)+2*sin(x)*cos(x)+cos^2(x), ez pedig már az előző esetben volt.

Tehát az állítás igaz.