Melyiknek nagyobb a valószínűsége: annak, hogy van ilyen számpár, vagy hogy nincs? Folyt.

Vegyük előbb a négyzetszámok sorozatát. Ott megállapítható, hogy n^2<2n+1<(n+1)^2 feltételnek eleget tevő (n+1)^2-n^2=2n+1 egyenletnek csak egy megoldása van. Mégpedig n=2, mert 4<5<9 mellett 5=9-4. n>2 esetén 4^2-3^2=7<3^2+1, 5^2-4^2=9<4^2+1, stb. Azaz (n+1)^2-n^2<n^2+1. Ha bevesszük a teljes hatványokat is, akkor még inkább teljesül ez az egyenlőtlenség. Például 25,27,32,36 esetén max(27-25,36-27,32-25,36-32)<36-25<26. Ezt nyugodtan leírhatod az ennél nagyobb hatványszámok esetén is. A maximum függvény változóinak száma a két négyzetszám közötti egyéb hatványszámok számának a duplája lesz.

Ennél izgalmasabb kérdés, hogy az adott egész szám osztható-e a különbséggel. Ebből úgy tűnik, mintha több is lenne az első egy néhány hatványszám között. Például: (25-16)|18 , (49-36)|39, (100-81)|95, (128-125)|126 stb. Sz. Gy.

Sz.Gy, azt hiszem, félreérted a feladatot. Nem a két hatványszám közé kell esnie a különbségüknek, hanem van két feltehetőleg nagy hatványszám, de annyira közel vannak egymáshoz, hogy a különbségük éppen megegyezik a random 100 és 200 közötti számmal.

Volt egy hasonló feladat úgy egy hónapja, ott számoltam valamilyen valószínűséget. Nem pont ugyanez volt a kérdés, de ötletnek felhasználható:

http://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__termeszettudomanyo..

12-es Kommenten elindulva megvizsgálható ez a [100,200] intervallum, hiszen az érintett számsorozat

a következő: 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216.

Vegyük vizsgálat alá a "véletlenül" kiválasztható számokat. Az első ilyen szám a 101. Megnézzük hogy van-e két olyan "egymást követő" teljes hatvány, amelyeknek pontosan "n" különbsége. A differenciasorozatból választhatunk, ami így fog kinézni: 21, 4, 3, 16, 25, 27, 20. Látszik, hogy ezek a számok kisebbek, mint 28 és 28<100. Tehát nem hogy a 101 nem lesz jó, a többi szóba jöhető szám sem lesz jó. Ez a tulajdonság már a négyzetszámokon is látszódik, hiszen két egymást követő négyzetszám különbsége páratlan szám a (n+1)^2-n^2=2n+1 miatt. De ez a (2n+1) nem eshet az n^2 és (n+1)^2 közé. Hát akkor az ennél sűrűbben elhelyezkedő hatványszámokra annál inkább igaz lesz ez a tulajdonság. Sz. Gy.

Lefuttattam a másik feladathoz írt programot, hogy keressen 100 és 200 közötti különbségű hatványokat. Ezek jöttek ki:

Ha négyzet és köb a két hatvány:

Found: 24^3 - 118^2 = -100

Found: 26^3 - 133^2 = -113

Found: 30^3 - 164^2 = 104

Found: 31^3 - 173^2 = -138

Found: 33^3 - 190^2 = -163

Found: 34^3 - 198^2 = 100

Found: 38^3 - 234^2 = 116

Found: 42^3 - 272^2 = 104

Found: 47^3 - 322^2 = 139

Found: 51^3 - 364^2 = 155

Found: 53^3 - 386^2 = -119

Found: 54^3 - 397^2 = -145

Found: 59^3 - 453^2 = 170

Found: 62^3 - 488^2 = 184

Found: 66^3 - 536^2 = 200

Found: 69^3 - 573^2 = 180

Found: 78^3 - 689^2 = -169

Found: 84^3 - 770^2 = -196

Found: 91^3 - 868^2 = 147

Found: 95^3 - 926^2 = -101

Found: 105^3 - 1076^2 = -151

Found: 143^3 - 1710^2 = 107

Found: 145^3 - 1746^2 = 109

Found: 158^3 - 1986^2 = 116

Found: 163^3 - 2081^2 = 186

Found: 175^3 - 2315^2 = 150

Found: 190^3 - 2619^2 = -161

Found: 195^3 - 2723^2 = 146

Found: 197^3 - 2765^2 = 148

Found: 255^3 - 4072^2 = 191

Found: 257^3 - 4120^2 = 193

Found: 366^3 - 7002^2 = -108

Found: 422^3 - 8669^2 = -113

Found: 799^3 - 22585^2 = 174

Found: 810^3 - 23053^2 = 191

Found: 937^3 - 28682^2 = -171

Found: 2660^3 - 137190^2 = -100

Found: 3067^3 - 169852^2 = -141

Found: 5215^3 - 376601^2 = 174

Ha köb és negyedik hatvány:

Found: 8^3 - 5^4 = -113

Found: 9^3 - 5^4 = 104

Ha köb és ötödik hatvány:

Found: 7^3 - 3^5 = 100

Ha négyzet és ötödik hatvány:

Found: 10^5 - 316^2 = 144

Found: 12^5 - 499^2 = -169

Mást nem néztem. Ezeket is csak 64 bites hatványokig néztem, de ott az összeset. Vagyis 2^64 alatt ez az összes lehetőség.

Nincs túl sok szám az intervallumban, csak ez a 33 darab:

100, 101, 104, 107, 108, 109, 113, 116, 119, 138, 139, 141, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 151, 155,

161, 163, 169, 170, 171, 174, 180, 184, 186, 191, 193, 196, 200

Nagyon valószínűtlen, hogy egyéb hatványokkal illetve nagyobb számokkal még 18 szám kijönne, hogy 51 legyen, de persze ez csak sejtés.

Azon gondolkodtam, el, hogy miért nem jött ki nekem minden páros szám, ami neked kijött. Végülis egyszerű a megoldás: a másik feladathoz készült a program és ott kicsit más a feltétel, aminek mondjuk a 106-os különbségű nem felel meg (mert bár a 15³ nagyobbik hatvány-szomszédja 106 messze van, de a kisebbiknél csak 11 a különbség ... nem érdekes belegondolni, más volt ott a feladat.)

Az egyforma kitevőjű hatványokat szintén azért nem néztem én, mert azok nem feleltek meg annak a feladatnak.