Fizika, súrlódás, álló csiga feladat?

Rajzolsz, felveszed a két általánosított koordinátádat: q.

q az első test pozíciója a vonatoztatási ponttól.

q_2 a második test pozíciója a vonatkoztatási ponttól.

q_3 a harmadik test pozíciója a vízszintestől.

A rendszer szabadsági foka 5, de jelen van négy kényszer, így 1 általánosított koordinátára van szükség, fentebb bevezetett három koordináta nem általánosított, mivel egymástól függnek, de ezt mindjárt megoldjuk.

q_2=q+l_1

q_3=q+l-l_1-l_2

Itt l_1 az egyes és kettes test közötti kötél hossza, l_2 a kettes és hármas test közötti kötél hossza. l pedig a teljes rendszer hossza.

Lagrange egyenlet: 1/2(m_1+m_2+m_3)(q')^2+mg(q+l-l_1-l_2)

Euler-Lagrange egyenlet:

d/dt(∂L/∂q')=∂L/∂q

Deriválást elvégezve:

q''=(m_3)/(m_1+m_2+m_3)g

Ide berakod az adatokat és kiszámolod, kapsz egy számot, rá voltál kíváncsi. Meg lehetne közelíteni Newtoni formalizmussal is, bár az ennyire nem egyszerű. Ha így tagonként kezeled a rendszert egy nem nehéz, de komplex feladatot kapsz, viszont kifognak belőle ugrani a kényszer erők is, amikre te most ne mvagy kíváncsi, szóval Newtonival egyszerűbb, ha az egészet egy rendszernek képzeled. Mi a rendszer teljes tömege? m_1+m_2+m_3

Mi gyorsítja ezt a rendszert? az m_3-ra ható gravitációs erő. Mivel más erő nem hat a rendszerben, ezért ő lesz a felelős a rendszer gyorsulásáért:

F_g3=m_3 g=(m_1+m_2+m_3)*a

Ez nem más, mint a második axióma. Ható erő egyenlő a rendszer gyorsulásával. Ebből pedig megkapjuk azt, amit a Lagrange formalizmus is mondott:

a=(m_3)/(m_1+m_2+m_3) g

Ha valamit nem értesz, akkor írj és megpróbálom még érthetőbben leírni.

Végét értened kellene így is. Amit nektek tanítanak az csak és kizárólag Newtoni mechanika. Első lépésben mindig rajzolj. Ha ez megvolt rajzold be a ható erőket. Minden asztalon lévő testre hat a gravitációs erő, illetve a normál erő. (Gravitációs lefele, normál fele és mivel vízszintes az asztal a két erő pont ugyanakkora nagyságú, így pont "kioltják" egymást.) Aztán minden testre hat egy kötél erő, aminek az ellen ereje pont a másik testre hat és mivel a kötél nyújthatatlan, ezért a kötélerők is "kioltják" egymást (mivel ugyanakkorák és ellentétes irányúak). Mivel súrlódástól eltekintünk, egyetlen erő, amit nem "olt" ki semmi az a hármas, tehát a logó testre ható gravitációs erő. Ilyen feladatokban mindig Newton második törvényét írjuk fel:

F=m*a, ahol F a teljes rendszere ható külső eredő erő, de mivel fentebb megvizsgáltuk, hogy a rendszerben ható összes erőnek van ellen ereje kivéve a hármasra ható gravitációsnak, így ez az F=F_g3, ami a hármas testre ható gravitációs erő. (Ez nem a "hivatalos" értelemben vett ellen erő, hanem a ható erőt "kioltó" erő.) Az m a rendszer teljes tehetetlen tömege, mivel a rendszerben az egyes, kettes és hármas test van benne, így m=m_1+m_2+m_3. Az a gyorsulás pedig a rendszer teljes gyorsulása, ami bármelyik testre igaz, hisz a kötél nyújthatatlan, tehát ha az egyik a-val gyorsul, akkor a másik kettőnek is kutya kötelessége ezt tenni. Eddigiek alapján erre az esetre specifikálva Newton második törvénye (F_g3=m_3*g):

m_3*g=(m_1*m_2*m_3)*a, átrendezve:

a=[(m_3)/(m_1*m_2*m_3)]*g

Ez a formula adja meg a test gyorsulását, ide már csak be kell helyettesítened a feladatban megadott számokat és kiszámolni a gyorsulás értékét.

Newton harmadik törvényének lényegi mondanivalója, hogy ilyen esetekben mindig izoláljuk a rendszer amivel dolgozni akarunk. Mivel a feladat csak a gyorsulást kérte, így célszerű és egyszerű volt vizsgálandó rendszernek választani a három testet egybe. Amennyiben kérte volna a fellépő kényszererőket, akkor a testeket egyenként kellett volna vizsgálni ugyanígy. A különbség annyi lett volna, hogy az egyes testekre ható erőknél a tenziós(kötél) erő nem esett volna ki, így pár egyszerű konklúzió levonása után megtudtad volna őket is állapítani, de mivel a feladat ezt nem kérte, én az egyszerűbb utat választottam.