Hogyan lehetne ezt kiszámolni: milyen magasra emelkedik a függőlegesen fellőtt lövedék, ha 240 m/s-mal indul és a légellenállás kezdetben 5,76 g lassulást okoz?
A légellenállás okozta lassulás négyzetesen arányos a sebességgel.
g=10 m/s^2
Köszönöm az ötleteket.
A tömege nincs megadva?
Hogy a légellenállás kezdetben a_0 gyorsulást okoz, az azt jelenti, hogy m*a_0 = k*v_0^2, ebből a közegellenállási tényező kiszámolható: k = m*a_0/v_0^2.
Válasszuk a lefele irányt pozitívnak. A cuccra egy irányba hat a gravitációs és közegellenállási erő, így a mozgásegyenlet, amíg a test el nem éri pályájának legmagasabb pontját:
m*a = m*g + k*v^2.
Ez v-re nézve egy elsőrendű differenciálegyenlet (ugyanis a = dv/dt):
m*dv = (m*g + k*v^2)*dt,
int(m*dv/(m*g + k*v^2)) = int(dt),
t + C = gyök(m/(g*k))*arctan(gyök(k*g/m)*v),
ahol C az integrációs konstans.
v(t) meghatározásához invertálni kell a bal oldalt:
tan(gyök(g*(k/m))*t + C) = gyök(k*g/m)*v,
v(t) = gyök(m/(k*g))*tan(gyök(g*k/m)*t + C).
C-t abból tudjuk meg, hogy v(0) = v_0.
C = arctan(v_0*gyök(k*g/m)).
Ugye a mozgásegyenletünk csak addig a T pillanatig érvényes, még a sebesség 0-ra nem csökken (ezután a közegellenállás a gravitációval ellentétes irányba hat):
v(T) = gyök(m/(k*g))*tan(gyök(g*k/m)*T + C) = 0.
T = -gyök(m/(g*k))*arctan(v_0*gyök(k*g/m)).
Még kéne, hogy hol lesz a test ekkor:
x(T) = int(v(t), t = 0..T) = …
Ezt meg már rád bízom.
(U. i.: ne felejts el válaszolni a kérdésre, amit az elején feltettem.)
A tömeg nincs megadva, de ránézésre, a megadottak alapján a magasság nem függ a tömegtől.
A gravitációs gyorsulás nem, és a légellenállás okozta lassulás sem tömeg, hanem sebesség-függő.
A közegellenállás okozta lassulás már pedig tömegfüggő, mert a közegellenállási erő alapból tömegfüggetlen, a mozgásegyenlet másik oldalán meg ott a tömeg a gyorsulás mellet. Amit itt elfelejtettem, hogy most a közegellenállási tényező is a tömeggel adott, így ha behelyettesíted, akkor a tömeg kiesik:
k = m*a_0/v_0^2
v(t) = gyök(m/(k*g))*tan(gyök(g*k/m)*t + arctan(v_0*gyök(k*g/m))) = gyök(v_0^2/(a_0*g))*tan(gyök(g*a_0/v_0^2)*t + arctan(v_0*gyök(a_0*g/v_0^2))),
T = -gyök(v_0^2/(g*a_0))*arctan(v_0*gyök(a_0*g/v_0^2)).
h = x(0) - x(T) = int(v(t), t = T..0) = …
Akkor most már rád bízhatom? (Remélem, nem számoltam el, de ha mégis, akkor remélem, észre veszed…) Még annyit, hogy a lefele irányt választottuk pozitívnak az elején, tehát v_0 = -240 m/s. Még a tangenst kell integrálni, és lényegében kész…
Amúgy hol jött elő a probléma?
Nekem ez magas. Végül is másképp oldottam meg - mire való a számítógép?
dt= 0,1s : 0,01s : 0,001s : 0,0001s -mal ciklusosan kiszámoltattam:
( a:=-10-v*v/1000; v1:=v+a*dt; va:=(v+v1)/2;
a1:=-10-va*va/1000; v2:=v+a1*dt;
s:=s+v2*dt; t:=t+dt; )
t a v h
2.0000 -32.3281 147.8343 371.741
4.0000 -19.8280 98.1550 611.253
6.0000 -14.3128 64.9607 770.928
8.0000 -11.6055 39.4903 873.228
10.0000 -10.3353 17.7951 929.018
11.7000 -10.0012 0.6110 943.728
11.8000 -10.0000 -0.3890 943.689
t a v h
2.0000 -31.8967 147.8161 375.832
4.0000 -19.6505 98.1390 617.535
6.0000 -14.2274 64.9475 778.670
8.0000 -11.5632 39.4789 882.089
10.0000 -10.3181 17.7846 938.833
11.7500 -10.0000 0.1006 954.313
11.7600 -10.0000 0.0006 954.313
11.7700 -10.0000 -0.0994 954.312
t a v h
2.0000 -31.8543 147.8159 376.246
4.0000 -19.6332 98.1388 618.172
6.0000 -14.2191 64.9474 779.456
8.0000 -11.5590 39.4788 882.990
10.0000 -10.3165 17.7845 939.831
11.7590 -10.0000 0.0105 955.391
11.7600 -10.0000 0.0005 955.391
11.7610 -10.0000 -0.0095 955.391
t a v h
2.0000 -31.8500 147.8159 376.288
4.0000 -19.6314 98.1388 618.236
6.0000 -14.2183 64.9474 779.535
8.0000 -11.5586 39.4788 883.080
10.0000 -10.3163 17.7845 939.931
11.7600 -10.0000 0.0005 955.499
11.7601 -10.0000 -0.0005 955.499
Szóval 955,5 m magasra emelkedik.
Innen merült fel:
http://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__termeszettudomanyo..
Közben vettem a fáradságot, és a pontos megoldást is kiszámoltam: 955,511 m. (Legalábbis ezekkel az adatokkal.)
Például egy 9 mm-es lövedékre ( [link] ) ezzel a képlettel: [link]
360 m/s („tipikus”) kezdősebességgel és 0,3-as CD-vel (ez gőzöm nincs, mennyire pontos, csak tipp) számolva 989 m jön ki (viszont nem 5,76 g-s, hanem 20,49 g-s kezdeti lassulás származik a közegellenállásból).
"...viszont nem 5,76 g-s, hanem 20,49 g-s kezdeti lassulás származik a közegellenállásból"
Hát ezt jól elkalibráltam...
De mentségemre, csak "behasaltam". Azt éreztem, hogy a g többszöröséről van szó - és kisebb kezdősebességet feltételeztem.
A km feletti magasság is összejöhet: vannak nagyobb kezdősebességek is.
Köszi a sok segítséget!
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!