Hogyan lehet kiszámolni az 5 fok tangensét függvénytábla ill. számológép használata nélkül?

Taylor sorral: [link]

Szerintem elemi geometriai úton sehogy.

Szabályos háromszöget szerkeszteni lehet.

15°-ot és ennek többszörösét szerkeszteni (és ezzel számolni) lehet.

5°ot ha megszerkeszted nekem körzővel és beosztás nélküli vonalzóval, levezetem neked az tg(5°)-ot. (Bár gondolom onnan menne neked is.)

Elvileg a feladat megoldható.

1. módszer.

Kis szögek esetén a tangens és a szinusz érték nagyon jó közelítéssel egyenlő a szög ívmértékével.

Például

tg5° = 0,087488663525924005222018669434961

Az 5° ívmértéke

5*π/180 = 0,087266462599716478846184538424431

sin5° = 0,087155742747658173558064270837474

Az eltérés ezen esetekben csak a negyedik tizedesben jelentkezik.

Szerintem a hétköznapi gyakorlatban ez a közelítés elfogadható.

*****************

2.módszer

Trigonometrikus úton is el lehet járni, csak a megoldás kissé macerás.

A háromszoros szög függvénye esetünkben

tg15 = tg3α = (3*tgα - tg³α)/(1 - 3*tg²α)

15 = 3*5

α = 5°

A tg15 értéke számítható a 15 = 45 - 30 különbség felhasználásával

Mivel

tg15 = tg(45 - 30) = (tg45 - tg30)/(1 - tg 45*tg30)

tg15 = (3 - √3)/(3 + √3)

Ha ezt az értéket c-vel jelöljük, és a háromszoros szög függvényének bal oldalába beírva kapjuk

c = (3*tgα - tg³α)/(1 - 3*tg²α)

A törtet eltávolítva és rendezve kapjuk a

0 = tg³α - 3c*tg²α - 3*tgα + c

harmadfokú egyenletet, amit elvileg meg lehet oldani.

Még annyit: függvénytáblát ill. számológépet nem lehet mellőzni. :-)

Hirtelen ennyi ötletem volt, talán más okosabb lesz.

DeeDee

***********