Komplex számok halmazán egyenlet megoldása?

ugye zkonj*z=|z|^2=r^2 (r a z absz. értéke)

és ez egy valós szám

így ha leválasztasz egy z-t:

(zkonj*z)*z=8i

|z|^2*z=8i

r^2*z=8i

r nem lehet nulla, így oszthatunk vele:

z=(8/r^2)*i

vagyis z tisztán képzetes, ezért z=r*i

emiatt

r*i=(8/r^2)*i

r=8/r^2

r^3=8

r=2

vagyis z=2i

elenőrizve klasszul ki is jön

csók a család.... :)

ez annyit tesz, hogy z

Közben én így írtam le :

[link]

A feladat megoldásához felhasználhatod a komplex számok exponenciális alakját is.

z=r*e^(fi*i)

zkomplexkonjugált=r*e^(-fi*i)

z^2=r^2*e^(2*fi*i)

8*i=8*e^(pi/2*i)

z^2*zkomplexkonjugált=r^3*e^((2fi-fi)*i)=r^3*e^(fi*i)

r^3*e^(fi*i) = 8*e^(pi/2*i)

Mindkét oldal abszolútértékét képezve: r^3=8 adódik, amiből r=2. Ezután 8-cal egyszerűsítve kapjuk, hogy

e^(fi*i) = e^(pi/2*i), ebből fi=pi/2(+k*2pi).

Tehát r=2, fi=pi/2, azaz z=2*i.