Van-e olyan folytonos függvény, melynek racionális helyen irracionális, irracionális helyen racionális az értéke?

Legyen f:R->R a fenti tulajdonságú függvény, és tekintsük a

g:R->R g(x)=x*f(x) függvényt!

Mivel f folytonos, ezért g is, továbbá f mindenhol irracionális. Ezek miatt g semmilyen (a,b) intervallumon nem növekedhet, sem csökkenhet, mert pl. ha a<b-re g(a)<g(b), akkor g folytonossága miatt minden g(a) és g(b) közötti értéket felvenne, speciálisan a racionális számokat is.

Így g konstans, például g(x)=c, ahol c irracionális. Ekkor azonban f(x)=c/x, amely viszont nyilván nem teljesíti a kérdéses tulajdonságokat.