Adottak az A, B és C pontok. Mutassuk ki, hogy legfennebb egy olyan parabola létezik amely átmegy az adott pontokon. Segítene nekem valaki?

Legyen A(x1,y1), B(x2,y2) és C(x3,y3)! Mivel egy parabolára illeszkednek, teljesül, hogy:

a(x1-b)+c=y1

a(x2-b)+c=y2

a(x3-b)+c=y3

A dolog innentől indirekt. Ha másik parabola is illeszthető rá, léteznie kell az eredetiektől különböző a', b', c' együtthatókészletnek. Lehetséges ez? Ezt már (ugyan hosszú és unalmasan) de meg tudod mutatni, nem?

Fel kell tételezni, hogy 3 különböző pontról van szó.

A parabola egyenlete y=ax^2+bx+c. Ebben három ismeretlen paraméter van, ezek tetszőleges számok lehetnek. Ha a három pont nem esik egy egyenesre (ezt külön vizsgáljuk), akkor a függvény e pontokba való helyettesítése után a

y1=ax1^2+bx1+c

y2=ax2^2+bx2+c

y3=ax3^2+bx3+c

egyenletrendszert kapjuk. Ebben a,b,c az ismeretlenek. Mivel a 3 pont kifeszíti a síkot, ezért ennek az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van.

Ha a három pont egy egyenesen van, akkor ennek az egyenesnek egy parabolával 3 metszéspontja kellene legyen, ami nem lehetséges, tehát nincs olyan parabola, amelyet e pontok határoznak meg.

Vagyis legfeljebb (nem legfennebb) egy alkalmas parabola létezik.