Tekintsük az ABCD paralelogrammát és az E, F pontokat úgy, hogy AE=EB, DF=2FE vektorok. Mutassuk ki, hogy az A, F, C pontok kollineárisak. Hogy kell?

Számoljunk a pontok helyvektoraival!

ABCD paralelogramma, emiatt AB=DC (vektorok), tehát b-a=c-d.

AE=EB (vektorok), emiatt e-a=b-e.

DF=2FE (vektorok), emiatt f-d=2*(e-f).

Ebből a három egyenletből kell kihoznod azt, hogy A, F, C egy egyenesbe esnek.

Innen rutinfeladat. Példa megoldás:

Az első egyenletből d-t kifejezve: d=a+c-b, a másodikból e-t kifejezve: e=(a+b)/2.

Ezt a két dolgot behelyettesítve a harmadik egyenletbe és kifejezve f-et: f=(2*a+c)/3.

És innen már látszik a lényeg: F az AC szakasz 1:2 arányú harmadolópontja. (Vagy ha az osztópont képletét nem ismered fel: AF vektor = (c-a)/3 = AC vektor/3. Tehát az AC vektor harmadrésze az AF vektor, így a három pont egy egyenesre esik.)

Ha vektorműveleteket tanultok, akkor az előzőeket kellene megértened. Ha például hasonlóságot tanultok, akkor így is lehet gondolkozni:

[link]