Másodrendű lineáris diffegyenlet, ha értesz hozzá, segítenél?

Az általános alakja legyen:

y"+by'+cy=f(x)

Most nem a próbafüggvény módszerrel szeretném megoldani, hanem a két állandó variálásával (másnéven konstans variációs módszer, ki hogy ismeri).

y" együtthatója szándékosan 1.

A karakterisztikus egyenletből ki tudom számolni a homogén megoldást.

A kérdésem az inhomogén egyenlet partikuláris megoldásának keresése.

Ugye a homogén megoldáshoz hasonló alakban keressük a partikuláris megoldást, ez legyen y0.

y0=k1(x)*y1+k2(x)*y2

Ennek a deriváltja:

y0'=k1'(x)*y1+k1(x)*y1'+k2'(x)*y2+k2(x)*y2'

Ha ezt, meg a 2. deriváltat is visszahelyettesítjük az eredeti egyenletbe, akkor még csak ez az 1 egyenletünk lenne, de 2 ismeretlennel (k1(x) és k2(x)).

Ezért lehet tenni egy önkényes kikötést, mégpedig:

k1'(x)*y1+k2'(x)*y2=0.

Ezzel az első derivált:

y0'=k1(x)*y1'+k2(x)*y2'.

És a második derivált:

y0"=k1'(x)*y1'+k1(x)*y1"+k2'(x)*y2'+k2(x)*y2"

Állítólag ha az y0-át, y0'-őt, y0"-őt, visszaírjuk az eredeti inhomogén egyenletbe, akkor az alábbit kéne kapni:

k1'(x)*y1'+k2'(x)*y2'=f(x)

Ez vajon hogy jön ki?

Válaszod előre is köszönöm!