Számtani sorozat?

Első tippre alakítsuk át a számokat prímszámok szorzatára:

8 = 2*2*2

27 = 3*3*3

64 = 4*4*4

Voala! Tehát:

a[n] = n^3

Azaz:

a[1] = 1^3 = 1

a[2] = 2^3 = 8

a[3] = 3^3 = 27

a[4] = 4^3 = 64

a[5] = 5^3 = 125

a[6] = 6^3 = 216

a[7] = 7^3 = 343

a[8] = 8^3 = 512

a[9] = 9^3 = 729

a[10] = 10^3 = 1000

stb…

Első tippre??? És 8 perc alatt tökéletes megoldás??? Én meg itt kotlottam rajta közel fél órája, mire végre találtam két bonyolult megoldást... :(

"Ez a Süsü mégis nagyszerű." :)

És:

Én vagyok a bús királylány,

Kit megelőzött a sárkány. (Háá, háá, ...)

:D

Bocs az offért, Hóvirág, de ezt le kellett írnom. :D

A magyarázatban azért segítenék szívesen, de nem értem, hogy mit nem értesz. :O

A számsorozat tagjai az 1-gyel kezdődő és mindig 1-gyel növekvő számsor 3. hatványai. Ezen felül?

Nos. Gondolom az a valódi kérdés, hogy hogyan találtam rá a „tippre”? Sajnos erre nincs recept. Mint minden rejtvény megfejtése intuitív módon indul el. Mint ahogy minden tudományos felfedezésé, stb… Persze azért az ember követ valamiféle módszert, ha meg akarja találni a megoldást, mondjuk az egyszerűbb esetektől a bonyolultabbakig haladva szépen elemez. Így is meg lehet találni azért a megoldást.

Leírom azokat a gondolatokat, amik átsuhantak a fejemen meglátva a számsort:

- 1-el kezdődik. Ez már jó jel, valószínűnek tűnik, hogy nem lesz olyan nagyon nehéz megtalálni a megoldást.

- Túl gyorsan nő, tehát nem számtani sorról lesz szó.

- Elsőnek hetet ad hozzá, másodiknak majdnem 20-at, harmadikra meg több mint 30-at. Biztos, hogy nem számtani sorról van szó.

- Jé, ezek úgy tűnik, mintha relatív prímek lennének. Szerintem nem is mértani sorról van szó. Nézzük: 27/8… Túl bonyolult szorzó egy ilyen egyszerűnek tűnő feladathoz. Pláne a 64/27.

- Sőt mintha a különbségek is relatív prímek lennének, bár ezt meg kellene nézni inkább. Bár úgysem számtani sor lesz.

- Lehet előbb eszek valami vacsorafélét, és csak utána írom le a megoldást.

- Esetleg Fibonacci-sorhoz lesz köze? Gyanús, hogy az is zsákutca lenne.

- Hmmm… A 8 is, a 64 is kettőnek a hatványa. A 27 is gyanús.

- Nem, inkább majd a feladatmegoldás után vacsorázom.

- Szorzótábla, de régen is tanultam és hogy utáltam: 8 = 2*4 = 4*2, 4 = 2*2, 27 = 3*9 = 9*3, 9 = 3*3, 64 = 8*8…

- Álljunk meg! Ezek gyanúsan hatványoknak néznek ki.

Kb. ez úgy fél másodperc alatt rohant át az agyamon nem is egymás után, hanem egyszerre.

- 8 = 2*2*2, 27 = 3*3*3, 64 = mennyi is? 8*8 = 2*2*2 * 2*2*2 = 4*4*4. Aham! Az 1 meg felírható így: 1*1*1

- Tehát a sorozat 1*1*1 , 2*2*2 , 3*3*3 , 4*4*4

Ez további fél másodperc volt számolással együtt...

Szóval nem tudom, ez segített-e. Szerintem ha valaki sok feladatot oldott már meg, sokszor számolgatott, az a 27-ről kapásból asszociál a 3*3*3-ra. A 8 és 64-ről meg kettő hatványaira. Innen már valószínű jó úton fog elindulni. Megint csak segíthet, ha éppen a hatványokat tanulja valaki matekból, mert elég magától értődő módon az ember megnézi ilyenkor, hogy hogyan írhatóak fel hatványként a sorozatban szereplő számok.

Sziasztok :)

Kedves Hóvirág, ez részemről egyáltalán nem humor volt, hanem totális kétségbeesés. :D

Persze alapon tudom már régóta, hogy Süsü sokkal, de sokkal okosabb nálam, de ez azért így mégiscsak nagyon erős volt... Még jó, hogy frissítettem az oldalt, mielőtt elkezdtem volna begépelni a két bonyolult megoldásomat. :)

Kedves Süsü, ismerlek erről az oldaladról is, hogy képes vagy angyali türelemmel, hosszan magyarázgatni, időt és energiát nem kímélve. De most megspórolhattad volna mindezt, ha nem sejtesz "hátsó szándékot" a kérdésem mögött; egyszerűen csak azon csodálkoztam annyira, hogy _első tippre_ megtaláltad a megoldást, és a kérdés kiírásától számított 8 percen belül már meg is írtad a választ. De most már kissé megnyugodtam, mert a leírásodból kiderül, hogy bár _egy másodperc alatt_ rájöttél, de mégsem elsőre. :D

(És szerintem az időtartam inkább _egy perc_ lehetett, csak elírtad. Vagy rosszul mérted. :P)

Persze ez is mindenképp szédületes teljesítmény. :)

Nekem is csak azért tartott olyan sokáig, mert

- ugyanúgy végiggondoltam a tagok közötti különbségeket,

- próbálkoztam szorzás + összeadással,

- "furfangos" lehetőségekkel, pl. az első két tag összegének 3-szorosa a 3. tag, de a 2. és 3. tag összegének még a kétszerese sincs a 4., tehát nem jó...

- próbálkoztam továbbá a tagok szorzatként való felírásával, és az ezek közötti összefüggés keresésével,

- hatványokkal is, csak pont így nem; vagyis az egyiket elírtam (a 64-nél), ezért:

- a lehetséges hatványkitevős megoldásra kiszámoltam a következő öt tagot,

- mivel ez így nem volt teljesen egyértelmű, gondolkodtam, hátha van másik megoldás; találtam is egy még bonyolultabbat, és arra is kiszámoltam a következő öt tagot.

Szóval - mondhatnám szokás szerint - egy hiba és a szokásos túlbonyolításra való hajlamom miatt így jártam. :D

(És még csak vacsoráról sem volt szó... Fibonacciról meg pláne nem, tekintve, hogy fogalmam sincs, ki az az ürge. :D)

Ui.: Kisgyerekként én sem voltam oda a szorzótábláért, de különösebb bajom sem volt vele, szóval nem értem, hogy lehet utálni. :O

Persze ízlések és pofonok különbözők. Kicsit elegánsabban: De gustibus non est disputandum. :)

Nekem a geometria sokkal utálatosabb volt anno, meg a különböző csoportosítgatások... Később aránylag megbékültem az előzővel is, az utóbbival pedig kifejezetten jóban lettem. :D

További szép napot mindkettőtöknek. :)

Berta: Túl vagyok misztifikálva. :-)

Na jó, lehet hogy nem fél másodperc volt így utólag visszagondolva, hanem 3-4 másodperc is akár. Azt tudom, hogy mikor megláttam, akkor pont vacsizni akartam indulni, hogy „majd vacsora közben lesz időm rajta gondolkodni”, aztán ahogy álltam fel, vissza is huppantam a székbe, hogy inkább válaszolok előbb, mert megvan a megoldás…

Nem tudom. Én nem érzem ezt olyan nehéz feladatnak. Persze az intuíció furán működik. Ha helyes, akkor gyorsan visz a jó válasz felé. Ha nem, akkor erősen zsákutcába tud vinni.

Na erre mondom azt, hogy nehéz feladat:

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, 31131211131221

Ez tényleg olyan feladat, aminél kicsit felül kell emelkedni a szokásos gondolatmeneten. A kérdésben szereplő feladatnál egy egyszerű matematikai művelet volt azért, még ha köbökkel ritkán számol is az ember úgy általában. De nekem informatikusként egyszerűen szemet szúrt a 8 és 64, mint kettő hatványai, meg a 27 is, mint „nagyon hármas” szám. Lehet én vagyok gyári hibás, de mikor egy számot meglátok, egy csomó matematikai asszociáció indul be bennem. Mondjuk egy 28-ról azonnal eszembe jutnak az osztói: 2, 4, 7, 14, de érdekes módon a legerősebben a 7-es, eszembe jut, hogy tökéletes szám, hogy 2-vel kisebb 30-nál, hogy 72-t kell hozzáadni, hogy 100-at kapjunk, de eszembe jut még a február, a szökőév is. Valahogy automatikusan végigpörögnek ezek ha meglátok egy számot, ha akarom, ha nem. :-) De szerintem ezzel még sok ember van így, főleg matematikusok. Én ugyan nem vagyok az, de informatikusként sokat foglalkozok számokkal, logikával.

Persze azért nem vagyok annyira gyári hibás, mint pl. Srínivásza Rámánudzsan, akiről van egy kis történet:

„Mikor egyszer Hardy és Rámánudzsan Londonban taxin utazott, Hardy a taxi távozása után vette észre, hogy aktatáskáját a kocsiban felejtette. Kéziratok lévén a táskában, ez kétségbe ejtette, de Rámánudzsan megnyugtatta, hogy a taxi száma 1729. Hardy igen örült ennek, de nem hagyta nyugodni a kérdés, hogyan lehetett megjegyezni egy ilyen érdektelen számot. Nem érdektelen ez a szám, felelte Rámánudzsan: ez a legkisebb olyan egész szám, amely kétféleképpen bontható fel két köbszám összegére:

1729 = 1³ + 12³

1729 = 9³ + 10³

…”

Na erre mondom, hogy ő valóban okos volt. :-) Persze nem csoda, hogy 600-700 oldalas jegyzethalmazt hagyott hátra, amit aztán két matematikus egy évtizeden keresztül elemzett, de nem volt energiájuk befejezni az elemzést. Egy másik matematikus vette át a munkájukat, aki további 13 éven keresztül „élt meg” a jegyzetekből, tizenhárom !kötetnyi! publikációt megírva, ami csak a jegyzetek tartalmáról szól.

Na ha már így beszélgetősre vettük a figurát:

> Ui.: Kisgyerekként én sem voltam oda a szorzótábláért, de különösebb bajom sem volt vele, szóval nem értem, hogy lehet utálni. :O

Én nagyon-nagyon nem szerettem. Utólag látva persze azért, mert fogalmam sem volt arra, hogy ez miért jó, mire jó, miért kell fejből megtanulni, ha már egyszer úgyis ott van előttem papíron. Úgy általános iskola 3. osztályig kb. úgy rugdostak át matekból. 3. osztály félévkor majdnem „megbuktattak”, annyira nem ment. Aztán valahogy egy dolgozat írása közben beugrott valami. Megértettem valami apró kis összefüggést. Emlékszem, egy sima számtani sor volt, valami ilyesmi: 17, 15, 13, 11, 9, és fel kellett írni a számok közötti összefüggést. Annyira megtetszett a felismerésem, hogy elkezdtem játszani vele, és az unalmas -2, -2, -2, -2 válassz helyett valami olyasmit írtam, hogy: -(+2), +(-2), -(+2), +(-2). A tanító néni persze felületesen nézte meg és nem fogadta el, amiért reklamálni kezdtem. Szerintem a tanító néni igen meglepődött, mikor kifejtettem, miért jó a megoldásom.

De ennél sokkal fontosabb dolog ugrott be akkor, nem csak egy számtani sor, meg a negatív számok működése, hanem az, hogy az egész matematikának értelme van, valós dolgokról szól, el lehet gondolkodni rajta, meg lehet érteni, és nem csak begyakorolni valamiféle homályos mások által tálalt összefüggést, amiről csak a jó isten tudja, hogy miért pont olyanok, amilyenek. Aztán így sikerült az, hogy míg félévkor épphogy elkerültem a bukást, év végén dicsérettel lettem ötös. :-)

Szerintem pont ez hiányzik egyébként a matek oktatásból. Mármint a megértés. Sokan úgy tanulnak matekot, hogy valami recepteket magolnak be, és megtanulják őket használni, és ennyi. De mikor nem tudják, hogy éppen melyik receptet kellene használni, akkor gondban vannak. Amikor meg több dolgot kellene kombinálni, akkor meg teljes a csőd. Persze ahhoz, hogy valóban értsék is a tanulók a matekot, nem így kellene tanítani. Sokkal kevesebb dolgot kellene sokkal alaposabban megtanítani. Szépen el kellene kezdeni az alapműveletekkel, aztán kicsit továbbmenni, visszakanyarodni, újra elővenni azt, ami még józan paraszti ésszel is belátható, kikövetkeztethető. Szóval jóval lassabban kellene haladni, többször elővenni témákat, amíg mindenki meg nem érti. Teljesen felesleges számrendszerekkel, hatványokkal, szögfüggvényekkel számolni egy általános iskolásnak, főleg így, hogy sokszor az alapműveletek összefüggéseivel sincs tisztába, mondjuk képes kritika nélkül leírni egy olyat, hogy 1/2 + 2/3 = 3/5, mert simán csak összeadja a számlálókat és nevezőket, mert van egy hibás recept benne, és már meg sem próbálja a törtek valódi értelmét látni, mondjuk elképzelni egy 2/3 tortaszeletet, meg egy 3/5 tortaszeletet. Persze hogy nem fog neki beugrani, hogy 2/3 már eleve nagyobb, mint 3/5, tehát valami nagyon nem stimmel.

Kedves Hóvirág, ne aggódj, hiszen mi a te közreműködésed nélkül, azaz csak ketten is simán szét tudjuk offolni a kérdésedet, úgyhogy neked csak olvasnod kell. :D

Legalábbis egy ideig, mert Süsü elég "jó kisfiú", nem olyan offbajnok, mint én :D, szóval illendőségi vagy egyéb okokból csak mértéktartóan "beszél mellé", aztán rendszerint otthagy lógva. :D

[És nézd meg, mit csinál most: közli, hogy túlmisztifikálom, aztán ír olyanokat magáról (3-4 másodperc, neki ez nem nehéz feladat stb.), hogy az önbecsülésem legalább 5 cm-t összement... Tegnap az a kósza ötletem támadt, hogy átköltöm a teljes Süsü-dalt; de gyorsan letettem róla, viszont mindezek után még lehet, hogy meggondolom magam... :D]

A matek miatt se keseredj el: én például szeretem, néhány év kivételével jó is voltam belőle suliban; de most van, hogy "egyszerű" 7.-8.-os feladatoknak neki sem kezdek, mert fel kellene eleveníteni a régen tanultakat; a középiskolás (és pláne a főiskolai) tananyagok egy részéről meg már nem is beszélve... Tehát van néhány témakör, amikben - az átlaghoz képest - kifejezetten jó vagyok, és jól is tudom magyarázni. [Nekem az a sikerélmény, amikor egy-egy kérdező fejében világosságot gyújtok olyan anyagrészben, amiről addig gőze sem volt. :) A napokban is kaptam egy igen-igen hálálkodó privátot, amiért részletesen elmagyaráztam, hogyan kell kétismeretlenes egyenletből egyismeretlenest csinálni, és le is vezettem az egészet; a kérdező bizonyára azt hitte, matektanár vagyok, mert azt írta, kár, hogy nem én tanítom nekik a matekot. :D]

De ami nem megy, az nem megy. Mondjuk én könnyen beszélek, mert már túlvagyok azon a problémakörön, hogy a gyerekemnek kell segítenem; amikor kellett, akkor még többnyire tudtam.

Mindenesetre fel a fejjel, és ha valamibe beletörik a bicskád, hát írj ki egy kérdést. :)

-------

Kedves Süsü, szokásomtól eltérően rövid leszek, legalábbis megpróbálom. :D

Az 1, 11, 21, 1211, 111221 stb. egyáltalán nem nehéz feladat szerintem, csak simán számolni kell, és lejegyezni az eredményeket: 1 db 1-es, aztán 2 db 1-es, aztán 1 db 2-es és 1 db 1-es stb. :)*

A számokról nekem is vannak asszociációim, csak nem olyan sok, mint neked. Szóval például a négyzetszámokat simán felismerem (legalábbis 144-ig :D), meg pl. a nevezetes azonosságokat is, meg még elég sok mindent, csak most késő van a gondolkodáshoz, hogy tovább soroljam...

Az anekdotád kapcsán az jutott eszembe, hogy ha valaki egész életében a számokkal foglalkozik, akkor persze hogy képes ilyen "csodákra"...

Én ennél természetesen sokkal alacsonyabb szinten adom elő magam úgy általában, de volt egy picit hasonló sztorim: Általában elég gyorsan jegyzek meg rövid számokat, pl. amikor jópár éve megkaptam az első bankkártyámat, az ügyintéző hölgy csodálkozott, hogy első ránézésre, kb. 3 mp alatt memorizáltam a PIN-kódot, nem is írtam fel. De azelőtt, talán az első telefonom PIN-kódja volt 9416, és valahogy nem ment a fejembe; amíg meg nem szoktam, így jegyeztem meg: csökkenő sorrendben a négyzetek (3^2, 2^2, 1^2), és a három szám (3, 2, 1) összege. :D

A matektanításról nem kezdek kisregénybe, ezért is voltam olyan bátor kijelenteni, hogy rövid leszek. :)

De nagyjából egyetértek veled, legalábbis abban, hogy a fő probléma az, ha egy gyerek nem érti az alapdolgokat, amikre aztán később építkezni lehetne. (Viszont úgy gondolom, később már nem kötelező mindig mindent érteni, "csak" pozitív dolog.)

Ui.: Gyanús vagy te nekem: nemrég a nyelvtanról írtad, hogy bajlódtál vele kiskorodban, most a matekról... Van még valami esetleg? :)

Na, jó, nehogy komolyan vedd, csak húzlak. Legalábbis próbálkozom. :P

* Mint ahogy a fentebbi számsornál is. Igazából nem önállóan jöttem rá a megoldásra, sőt:

http://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__alkalmazott-tudoma..

:D

Üdv nektek. :)