Adott egy derékszögű háromszög. Átfogója 44 egység. Szögei: 75 és 15 fok. Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?

A 75 fokos szög felosztható egy 15 és egy 60 fokosra.

Ekkor egy egyenlőszárú háromszöget kapunk: 15,15,150 fokos szögekkel és egy 30-60-90 fokos derékszögű háromszöget.

Rajzold le!

Legyen ABC a háromszög

A-nál van a 15 fok, és ABD az egyenlőszárú háromszög.

BC=a, ekkor BCD félszabályos háromszög, ezért BD=2a és CD=gyök(3)*a

BD=AD=2a

AC oldal a*(2+gyök(3)

Pithagorasz-tétel felírható:

a^2+[a*(2+gyök(3))]^2=44^2

a^2+a^2*(7+4gyök(3))=44^2

a^2*(8+4gyök(3))=44^2

a^2=44^2/(8+4gyök(3)) /4-el lehet egyszerűsíteni

a^2=22^2/(2+gyök(3))

a=22/gyök[(2+gyök(3))]

AC oldal a*(2+gyök(3)

22*gyök[(2+gyök(3))]

T=ab/2 illetve T=c*mc/2

Vagyis

ab=c*mc

és

mc=a*b/c

ab=22/gyök[(2+gyök(3))] * 22*gyök[(2+gyök(3))] =22^2

ab/c=22*22/44=11

A magasság 11 egység.

Szögfüggvényekre nem volt szükség, csak a Pithagorasz-tételre, ami 8. osztályos anyag, illetve a fél-szabályos háromszög ismeretére, amit talán szintén megtanítanak akkortájt.

Ennek ellenére gyanítom van ennél kicsit szebb megoldás is.