Hogyan kell interpolálni?

Írj fel egy aránypárt. Ha 5°C hőmérséklet változásra ennyit változik a sűrűség, akkor 3°C hőmérséklet változásra annyit fog változni. Ezt add hozzá az 5°C-hoz tartozó sűrűséghez, és kész.

azaz: (ρ(10°C)-ρ(5°C)/5) * 3 + ρ(5°C)

A legegyszerűbb a lineáris interpoláció ahol feltételezzük, hogy a két pont közötti összefüggés egyenes arányossággal jellemezhető.

1. pontban x1 független változóhoz (hőmérséklet) y1 függő változó (sűrűség) tartozik

2. pontban x2 független változóhoz (hőmérséklet) y2 függő változó (sűrűség) tartozik

x3 értékhez tartozó sűrűségadat kerestetik. x1<x3<x2

x2-x1 hőmérsékletemelkedéshez y2-y1 sűrűségváltozás tartozik

x3-x2 hőmérsékletemelkedéshez z sűrűségváltozás tartozik

_____

z=(x3-x2)*(y2-y1)/(x2-x1)

Tehát az x3 ponthoz tartozó sűrűség: y1+z

Ezen kívül találsz képleteket, amelyekkel leírható a víz sűrűsége. Pl. a Takana-formula:

P=999,974950*(1-((T-273,15)-3,983035)*((T-273,15)+301,797)/(522528,9*((T-273,15)+69,34881)), ahol

P a víz sűrűsége (kg/m^3)

Szerintem a feladat megelégszik annyival, hogy 5 és 10 °C között felveszel egy egyenest, és azon nézed a 8°C-ot, ahogy az 1. válasz szólt.

Általánosan az interpolláció: tudod, hogy a függvényed bizonyos helyeken milyen értéket vesz fel, pl. f(a1)=b1, f(a2)=b2, f(a3)=b3. Ezek alapján keresed a függvényt. Valójában ez lehetetlen, de ha n darab számpárod van, akkor egy (n-1)-edfokú polinomot tudsz mondani.

Megoldás módja: veszel először (n-1)-edfokú polinomot, ami az a1-ben b1-et vesz fel, de a2-ben, a3-ban, stb... 0-t. Erre a következő a megoldás:

b1*(x-a2)*(x-a3)*...*(x-an)/((b1-a2)*(b1-a3)*...*(b1-an))

Ezt eljátszod a többire is: tehát olyan függvényeket veszel, amelyek valamelyik ak-ban bk, de a többi a-ban 0. Végül ezeket összeadod. Nem kevés munka, de a kapott (n-1)-edfokú polinom általában a valóságot is jól közelíti.