Mekkora sebbességű elektron lendülete egyenlő a 663 nm hullámhosszúságú vörös színű fény fotonjainak lendületével?

Einstein állította, hogy a maxwelli elektrodinamika szerint az elektromágneses hullámok E energiájához E/c impulzus tartozik.

Az E = ℎν energiájú fotonnak is van p = ℎν/c = ℎ/λ impulzusa.

Louis de Broglie fedezte fel, hogy p = m₀v impulzussal mozgó elektronhoz is hozzárandelhető egy anyaghullám mozgása, amire teljesül Einstein összefüggése λ = ℎ/p, Ez megmagyarázza a Bohr féle kvantumfeltételt. Ha fenti egyenletet máshogy írjuk le 2πr = n(ℎ/p) = nλ, akkor n egész szám volta, azt jelenti, hogy az önmagába záródó körbefutó hullám, határozott egyértékű fázissal, bármeddig képes stacionárius hullámmozgását folytatni. A fenti de Broglie-reláció kapcsolja össze a hullámként viselkedő részecske hullámhosszát, egy golyóként viselő részecske lendületével. Ez a reláció az egyik alapvető összefüggése a kvantummechanikának, amely minden kvantumos mozgásra igaz! Ez a hullámmozgás, képes magát részecskének mutatni akárcsak egy vízhullám taraja. A szuperpozíció-elv alapján, (amit remélem ismersz) kijelenthetjük, hogy kialakul hullámok egy csoportja amit különböző hullámhosszúságú hullámok alkotnak. Ezt a csoportot nevezzük hullámcsomagnak. Ebben a hullámcsomagban a különböző hullámok fáziasi a legtöbb helyen nem esnek egybe, ezért a részhullámok néhol kioltják egymást. Hullámcsomag csak ott "látható" ahogy a részhullámok fázisai egybeesnek. És mivel a részhullámok különböző fázissebességgel haladnak, a hullámcsomag helye is elmozdul. Ezt nevezzük, csoportsebességnek. A hullámcsomag és csoportsebesség matematikáját itt nem tudom leírni, de egy alapvető összefüggést felírok, ez pedig a csoportsebesség, v(csop) = p/m, ami nem más mint a részecske sebessége.

*(AZ IMPULZUS NEM SKALÁR hanem vektormennyiség. De ezt könnyen figyelembevehetjük ha bevezetünk egy k vektort, aminek nagysága k = 2π/λ, így kapjuk meg az impulzusvektort p = ℏk. A ℏ a Dirac-állandó vagy redukált Planck-állandó.)

*********************************************

Alkalmazzuk most ezt a tudást.

A hullámhossz fordítottan arányos az impulzussal, ez a de Broglie-relációk egyike

λ = ℎ/p, és tudjuk, hogy az elektron sebessége

v(csop) = p/m

Vagy akár számolhatunk relativisztikus mechanikában is, ahol az impulzus formulája a következő:

p = γm₀v,

ahol γ a lorentz-faktor, γ = 1/ √(1-(v/c)²).

Az inverz relációt a következő egyenlet jelenti:

v = c²p / √m₀²c⁴ + p²c² = c²p/E

Számoljunk!

*********************************************

Az elektron nyugalmi tömege, m₀ = 9.1e-31 Kg

Plank-állndó, ℎ = 6.626e-34 J*s

Hullámhossz λ = 663nm, méterre átváltva 6.63e-09 m

fénysebesség c = 2.99e+08 m/s

*********************************************

Elöször tudjunk meg a foton impulzusát:

p = ℎ/λ = 6.626e-34 / 6.63e-09 = 9.993967e-26

p = 9.993967e-26 J*s

Tudjuk hogy az elektron lendülete egyenlő a foton lendületével,

9.993967e-26 J*s-mal.

tehát a csoportsebességre adott összefüggéssel kiszámíthatjuk az elektron sebességét.

v(csop) = p/m = 9.993967e-26 / 9.1e-31 = 109823.8 m/s

Vagy a relativisztikus képletünket használva:

v = c²p / √m₀²c⁴ + p²c² = c²p/E = 2.99e+08²×9.993967e-26 / √( 9.1e-31² × 2.99e+08⁴ + 9.993967e-26²×2.99e+08² ) = 109823.8 m/s

Azaz annak az elektronnak a lendülete egyenlő a 663nm hullámhosszúságú foton lendületével, amelyik 109823.8 m/s vagy 0.000366333c sebességgel mozog.

Kiegészítés:

******************************************

de Broglie relációk:

******************************************

Hullámhossz: λ = ℎ/p

Frekvencia : f = E/ℎ

Impulzus : p = ℏk

Összenergia: E = ℏ⍵

******************************************

Ahol:

k = 2π/λ a hullámszám

ℏ = ℎ/2π a redukált planck-állandó

⍵ = 2πf a körfrekvancia.

Remélem nem tévedtem.