A pi bináris alakban leírva a hány darab a legtöbb közvetlenül egymás után álló egyforma számjegy?

Ez azért nem ennyire egyértelmű. Nem tudom, hogy bizonyították-e, hogy a pi „normális szám”-e, vagy sem.

Annyit tudunk, hogy:

- irracionális szám, tehát nem írható fel hányadosként. Márpedig lehet olyan irracionális számot kreálni, amiben nincsen benne minden számsorozat. Pl.: 0.18118111811118111118… (A nyolcasok között mindig eggyel több egyes jön.) Az így kapott szám irracionális, mégis kettes számrendszerben felírva nem áll egymás mellet végtelen sok nulla, sem végtelen sok egyes. Azért, mert ez a szám nem normális szám.

- A pi transzcendens szám. Nem tudom hogy ez számít-e, de érzésem és információm szerint nem következik a transzcendens jellegből az, hogy az adott szám normális szám-e, vagy sem.

Tehát úgy érzem, hogy csak sejtés, hogy bármilyen hosszú számsort tartalmaz a pi, többek között a 0-kból és 1-ekből álló számsorokat. Bár azt hiszem meglepődnénk, ha nem így lenne.

Igen. A normális szám annyit jelent, hogy a számjegyek eloszlása megegyezik a valódi véletlen eloszlásnak. Mivel véletlen számok esetén bármilyen hosszúságú adott számsor előfordulása nagyobb nullánál, így végtelen számú véletlen számjegy esetén végtelen sokszor fordul elő. (Ez az adott számsor állhat nullákból, egyesekből, de akár bármilyen konkrét számsor is lehet, mondjuk a biblia.txt karaktereinek megfelelő ASCII kódok sora.)

Magyarán, ha a pi normális szám, akkor mindkét számjegy végtelen hosszú sora megtalálható benne.

Ha normális számról van szó, akkor az 1-ek és 0-k, illetve ezek bármilyen hosszú sora azonos eséllyel található meg, függetlenül attól, hogy 1-ekről, vagy 0-król van szó.

Nem tartozik a tárgyra, de eszembe jutott, hátha valakinek érdekes: Sajátos dolog ez a végtelen, nem is egyszerű megérteni. Pl. bár egész számból végtelen sok van, mégis két egész szám között végtelen sok racionális szám található és végtelen sok irracionális szám is. A matematika amúgy megkülönböztet megszámlálható végtelent és megszámlálhatatlan végtelent. Az előbbinél bármilyen elem esetén meg tudjuk mondani, hogy melyik elem áll utána és előtte. Pl. egész számok esetén – amiből végtelen van – meg tudjuk mondani, hogy a 4 után az 5, előtte a 3 áll. A megszámlálhatatlan végtelen esetén ezt nem lehet megmondani. Racionális szám esetén nem lehet megmondani, hogy mi áll a 145/458434 előtt és után.

Normális szám: [link]

Saját szavakkal megfogalmazva, kimondottan kettes számrendszerbéli számra a következő a helyzet:

- Kellően hosszú számsorozatot kiválasztva a 0-k és 1-k előfordulási gyakorisága azonos (50%) kell, hogy legyen.

- Ugyanígy a számjegyek kettes csoportjára is igaz. Két számjegyből a következő számpárok alkothatók: 00, 01, 10, 11. Bármilyen hosszú számsorozatot kiragadva ezek gyakoriságának egyezőnek kell lennie (25%).

- Ugyanígy a 3-4-535457-„nagyonsok” számjegyből felírható kombinációkra is igazak ezek.

Ebből az következik, hogy bármilyen hosszú is legyen egy számkombináció, annak a gyakorisága meg kell, hogy egyezzen a vele azonos hosszúságú kombinációk gyakoriságával. Ha valamelyik számsor véges számban fordulna elő egy normális számban, akkor a vele azonos hosszúságú számsoroknak is véges esetben kellene előfordulnia benne. Bármilyen nem végtelen hosszúságú számkombináció nem végtelen hosszú számjegyből áll. A kombinációk száma sem végtelen. Két nem végtelen szám szorzata sem végtelen. Márpedig a normális számnak végtelen hosszúnak kell lennie. Ez ellentmondásra vezetne.

Máshogy megközelítve: Nézzük meg, mi a helyzet n darab számból álló kombinációk esetén. Ebben az esetben 2^n darab kombináció van. Az egyes kombinációk darabszámát jelöljük d(1)-től d(2^n)-ig. Ezeket összeadva végtelent kell, hogy kapjunk:

végtelen = d(1) + d(2) + d(3) + … + d(2^n 1) + d(2^n)

Ez pozitív egész számokból álló összeg csak akkor lehet végtelen, ha valamelyik tagja végtelen.

Ha két kombináció valószínűsége más, akkor a szám nem normális. Ha normális, akkor minden kombináció valószínűsége egyforma d(1)=d(2)=d(x)=…=d(2^n). Viszont mivel az egyik tag az összegből végtelen, akkor mindegyiknek végtelennek kell lennie.

Ez bármilyen hosszúságú kombinációra igaz kell, hogy legyen. Tehát (n+1) hosszúságú kombinációkra is. Ebből következik, hogy nincs olyan határ, ami után a fentiek teljesülése nem szükséges.

(Nem teljesen egzakt a bizonyítás, de remélem azért érthető.)

Tehát abból, hogy egy szám normális szám, abból egyenesen következik az, hogy bármilyen hosszú számkombináció végtelenszer fordul elő benne.

> Ha normális egy szám, abból jól sejtem, még nem következik, hogy biztosan tartalmazza a "biblia.txt"-t is valahol?

De. A Bibliának ugye véges a hossza. A Bibliát alkotó adatsornak ugyanolyan eséllyel kell benne lennie, mint bármelyik ugyanolyan hosszúságú sorozatnak.

Vegyünk egy emészthető hosszúságú adatsort, mondjuk egy telefonszámot. Egy magyar telefonszám ugye 9 számból áll, ez 72 bitet jelent. 72 bit hosszúságú adatsorból 2^72 darab van (4 trilliárd). Ha ennyi darab 72 bit hosszúságú adatsort vizsgálunk (azaz összesen 72*2^72, azaz 340 trilliárd hosszúságú adatsort), akkor minden telefonszámnak kb. egyszer benne kell lennie. (Persze a szórás miatt nem biztos.) Viszont minél nagyobb mintát nézünk, annál inkább közelítünk a valószínűséghez. Azaz 100-szor ekkora mintában átlag 100-szor lesz benne minden telefonszám. (Lesz, amelyik 95-ször, meg lesz, ami 105-ször, de kb. 100 körül lesz mind.)

Ugyanez igaz a bibliára, csak itt jóval nagyobbak ezek a számok. Persze nincs olyan óriási szám, ami ne lenne elhanyagolhatóan kicsi a végtelenhez képest. Saccra a Biblia úgy 5 millió karakter lehet, ami 40 millió bit. Egy 40 000 000 * 2^(40 000 000) hosszúságú adatsorban már 50% eséllyel benne lesz. Viszont ez irdatlan hosszú adatsor, szavakkal már szinte ki sem fejezhető. (kb. 10^12000000 nagyságrend) Képzelj el egy számot, aminél az egyes után kb. 12 millió számjegy áll. Ez nagyon nagy szám. Nos ennyi darab számjegyről van szó, ami ugye még nem végtelen darab, csak emberi léptékben nagyon sok. (Hogy mennyi ez a 10^120000000? Az egész univerzumban kb. 10^80 darab atom található. Tehát 10^11999920 darab univerzumban lenne ennyi atom.) (Ehhez képest a pi-nek csak kb. 10 billió (10^13) számjegyét tudtuk kiszámolni. (Ha szövegfájlként letöltenéd, akkor kellene hozzá egy 10 TB-os merevlemez.)