Mi a megoldás? 25 ^ (gyök x) = 5 * 5 (harmadik gyök alatt x)

Szerintem a jobb oldalon valamit kihagytál, vagy hatványozást, vagy szorzást. Ha hatványozást, akkor az egyenleted \sqrt{x}=\sqrt{3}{x}+1 alakra hozható logaritmálással, innen az y:=\sqrt{6}{x} helyettesítéssel y^3-y^2-1=0 egyenletet kell megoldani.

Ha szorzás, akkor eléggé nyűgös az egyenlet, nem valószínű, hogy az lenne.

Az elején teszünk egy kikötést, hogy x>=0, és észrevesszük, hogy az x=1 megoldás.

Vegyük mindkét oldalnak az 5 alapú logaritmusát!

2 * gyökx = 1+ köbgyökx

Ha eddig nem tettük meg, most aztán tényleg észrevesszük, hogy az x=1 megoldás! Lehet több megoldás? Ha felsőbb matematikát is használunk, az alábbit csinálhatjuk:

A baloldal deriváltja 1/gyökx, a jobboldalé 1/(3*köbgyökx^2). Ezekről megállapíthatjuk egyfelől, hogy mindkettő pozitív; másfelől pedig, hogy a baloldalé nagyobb, ha x>1/729. 0 és 1/729 között 2 * gyökx < 1, onnantól kezdve meg csak egy metszéspontjuk lehet, hiszen az egyik végig meredekebb a másiknál. Így az x=1 az egyetlen megoldás.

Mit tudunk csinálni, ha nem használhatjuk a felsőbb matematikát? Lehet, hogy középiskolások vagyunk, és még nem tanultunk deriválni. Az egyenletet átrendezve, és köbre emelve ezt kapjuk:

8 * gyökx^3 -12x + 6 * gyökx -1 = x

innen az y=gyökx helyettesítéssel ezt:

8y^3 - 13y^2 + 6y -1 = 0

Ez a legutolsó lehetőségünk, hogy észrevegyük, hogy az y=1 megoldás. Ha még most sem vesszük észre, akkor kénytelenek vagyunk előkeresni a harmadfokú egyenlet megoldóképletét. Ez elég gusztustalan lenne, úgyhogy nem írom le. Az (y-1)-et kiemelve viszont ezt kapjuk:

8y^2 - 5y + 1 = 0, aminek nincs valós megoldása, és éppen ezt akartuk kihozni.

Más a véleményem: :-)

Bővebben itt:

[link]

DeeDee

***********

Hehh, lehagytam egy kettest. 23:36-é a jó.

DeeDee, biztos, hogy 25^\sqrt{x}=25^\frac{x}{2}?

Örülnék, ha normálisan írnád le a válaszodat. :-)

Nem világos, mit kifogásolsz.

DeeDee

*******

22:50

Igen, egy 2-es szorzót elnéztél, viszont elegánsabban írtad föl a harmadfokút. Más kérdés, hogy kimaradt a megoldásodból a lényeg. Azt, hogy x=1 jó egyszerűen észre kell venni. Anélkül baromi nacerás.

DeeDee!

Tom teljesen normálisan írta le a válaszát. A jelölésrendszert, amit használ illene megértened, ha már matematikai kérdésre válaszolsz egy fórumon.

A megoldásod nem jó. A 3/2-et helyettesítsd be az eredetibe, és látni fogod, hogy nem igaz az egyenlőség.

Négy komoly hibát csináltál a "megoldásodban". Az egyenlet mindkét oldalát hibásan alakítottad át a 3. sorban. A jobboldalt ezenkívül az 5. sorban is. A 7. sort meg nem világos hogy számoltad: nem ugyanazt az átalakítást csináltad a két oldalon. Igazából mindegy is, már a 3. sortól rossz volt az egész.

Ami a megoldást illeti, igazad van, rosszul csináltam.

Ami viszont a programnyelvek ismeretét illeti: fölösleges kérkedésnek érzem, szerintem nagyon sokan nem ismerik, pedig nem ártana közérthetően kifejezni magad, ha már egy közösségi lapon nyilvánulsz meg. Volt dolgom jó néhány programnyelvvel, de eszembe nem jutott soha, hogy a kollégákon kívül bármelyikkel próbáltam volna kommunikálni.

DeeDee

********