Két ventor keresztszorzata miért lesz merőleges a két vektor által kifeszített paralelogramma síkjára?

Nézzük sorban:

- "Két ventor keresztszorzata miért lesz merőleges a két vektor által kifeszített paralelogramma síkjára?" Mert így definiáljuk a vektoriális szorzatot: [link]

- "miért vektromennyiség lesz a vektoriális szorzat eredménye" Mert így definiáljuk, így lesz belőle hasznos és érdekes matematikai fogalom.

- "ennek a paralelogrammának miért van egyáltalán iránya" Nincs neki. Ismét, definíció szerint a keresztszorzat eredménye vektor lesz, aminek az iránya merőleges a két vektorra (és igaz rá a jobbkéz-szabály). Ebből triviálisan következik, hogy a kifeszített paralelogramma síkjára is merőleges lesz.

- "paralelogramma területe területegységben mérendő" ebbe ne menjünk bele, de legyen annyi elég, hogy itt a terület skalár mértékéről van szó, nem a területről, mint "mértékegységről".

- "Az meg mivel magyarázható hogy a két vektorral ez a "területvektor" 90°-ot zár be?" Lásd első pont, így definiáltuk. Ez egy közönséges vektor lesz, nem vlamilyen különleges "területvektor".

- "Nekem ez annyira hasraütés szerűnek tűnik." Kicsit az is. De mint mondtam, kiderült, hogy ennek a furcsa definíciónak érdekes tulajdonsgai vannak, és sok más (többek között fizikai) probléma kiszámolására használható, mint egyszerűsítés.

Az nem úgy volt, hogy ültek az okosok és hasukra ütve kitalálták, hogy legyen egy ilyen vektoriális szorzat, és az így és így nézzen ki. A vektoriális szorzat egy szükségszerű definíció bizonyos fizikai törvények, és azokban szereplő mennyiségek (pl. vektortér rotációja a Stokes-tételben vagy a felületi integráláshoz kell a Gauss-Osztrogradszkij-tételben, ami az elektrosztatika egyik alapvetése) miatt. A vekt. szorzat koordinátákkal definiálandó egy adott módon:

(a2b3-a3b2; a3b1-a1b3; a1b2-a2b1)

Ebből a definícióból következik egyrészt, hogy a axb szorzat értéke egyenlő |a|*|b|*sin(alfa) értékkel, ami egyébként a paralelogramma területének képlete.

Másrészt a merőlegesség simán következik abból, hogy axb skaláris szorzata a-val és b-vel is nulla lesz.

Igen, ha jól értem a kérdésed. Ugye a vektoriális szorzat eredménye olyan 3 dimenzióban hogy i-edik koordinátája a kiinduló vektoroknak a nem-i-edik koordináták által alkotott 2x2-es mátrix determinánsa. Képzeljük el, hogy a két vektor egy 3 oszlopos mátrix első két oszlopa, ekkor ugyanezeket a determinánsok a harmadik oszlop elemeihez tartozó aldeterminánsok. Amikor azt mondjuk hogy a vektoriális szorzat eredménye merőleges a kiindulási vektorokra, akkor az olyan mintha fentebb említett harmadik oszlopba beírnánk az első vagy második oszlopot, ha ehhez tudjuk hogy egy determináns 0 ha két oszlopa megegyezik akkor már látjuk matematikailag is, hogy tényleg a determináns megmagyarázza miért merőleges az így megadott vektorszorzat eredménye a kiindulási vektorokra.

Hogy miért akkora a vektor hossza mint a két vektor által leírt paralelogramma? Nem vagyok olyan okos hogy ezt most megmondjam, de legalább értsük meg:

A vektorszorzat i-edik koordinátája ugye a maradék koordináták mátrixának determinánsa. De álljunk meg a mátrixnál? Az tulajdonképpen az i-edik koordinátára/bázisra merőleges vetülete a kifeszített paralelogrammának. A determináns (NAGYSÁGA) pedig a vetület nagysága. A vektoriális szorzat nagysága pedig, ezen vetületek nagyságának négyzetösszege ÉS ezek gyöke... Tehát egy általánosított Pitagorasz-tétel van előttünk!

1 dimenziós elem azaz szakasz vetülete 1 dimenziós, 1 dimenziós vetületei az őt leíró koordináták, s nagysága a vetületei négyzetösszegének gyöke. Ez a megszokott Pitagorasz-tétel több dimenzióban: gyök(x^2 + y^2 + z^2...)

Ennek analógja: n dimeniós elem, n dimenziós vetületeinek nagyságának négyzetösszegének gyöke az eredeti n dimenziós elem n dimenziós nagysága. :)

"paralelogrammák meg egységvektorok cikáztak a fejemben"

Csak?