Találtam egy túl nagy rést a prímedik prímek között, van még máshol is?

"Ha egy végtelen sorozatban egyszer előfordult valami, akkor többször is előfordulhat."

Nem feltétlenül. Triviális példa arra amikor nem : páros prímszám a prímszámok sorozatában. Soha többé nem fog előforulni még egy páros szám közülük a 2-őn kívül.

A prímhézagok a prímek nagyságához képest egyre kisebbek lesznek, tetszőlegesen kicsik: a hányados nullához tart: lim n->∞ g(n)/p(n) = 0, ahol p(n) az n.-ik prím, g(n) pedig p(n) rákövetkező prímszám közötti prímhézag mérete.

A kérdésre nem tudom a választ.

Erre a kérdésre leginkább azt tudnám mondani, hogy 'every fool can ask a question about prime numbers that the cleverest man can't answer'

Ugye mindenki tudja, ez kitől van. Ne érts félre, nem lehülyézni akarlak, csak a prímszámelmélet tényleg annyira bonyolult dolog, hogy egy ilyen egyszerű kérdésre is elég reménytelen válaszolni.

A válasz az hogy nem, a 11/5 után nem fog többé előfordulni 2-nél nagyobb arány az egymást követő PIP-ek (prím-indexű-prímek) között.

Előzőnek abban igaza van, hogy sokszor az a helyzet, hogy hiába "tudjuk" a választ, nem tudjuk azt bizonyítani. De ezt pl. lehet!

Először figyeljük meg a tendenciát:

[link]

Azt találjuk, hogy a 30.-tól az arány már az 1.1-et sem haladja meg, kb. az 500.-tól az 1.01-et sem, kb. a 100000.-től az 1.0001-et sem ...

A Bertrand posztulátum óta vannak jobb eredmények:

[link]

[link]

Az 2. link alján Dusart eredményeit a prímhézagokról kombinálva a 3. link alján a p(n)-re adott intervallummal bizonyítható.

De ehhez matematikus kell, és a megértéséhez is.

Plusz: a 2. link eleje. A prímekhez hasonlóan a PIPekre is igaz, hogy minden ε>0 -hoz van olyan n0 határszám, mely felett minden n-re igaz lesz, hogy

PIP[n+1]/PIP[n] < 1+ε