Van valahol adat a Föld perdületére, tehetetlenségi nyomatékára? Nem homogén gömb!

Megkeresed a Föld sűrűségét leíró ró(r) függvényt, ahol r a középponttól vett távolság. Ez kb így néz ki: [link]

Majd kiintegrálod 0-tól R-ig a c*ró(r)*r^4*dr függvényt. A c konstanst kibogozzuk a végén, de az r^4 a lényeg: az infinitezimális dr gömbhéjak tömege a sugaraik négyzetével arányos, és a tehetetlenségi nyomatékhoz való hozzájárulásuk szintén a sugár négyzetével arányos. De sima dimenzióanalízissel is ez jön ki, hiszen tehetetlenségi nyomaték[kg*m^2] = integrál sűrűség[kg/m^3]*VALAMI*dr[m], így törvényszerűen VALAMI[m^4] kell legyen.

Már csak a c-t kellene kitalálni. Tudjuk, hogy a homogén gömb tehetetlenségi nyomatéka 2/5*M*R^2. M átírható ró*4/3*pi*R^3 alakba, és ró(r) konstans ró-ra. Ebből:

2/5*M*R^2 = 2/5 * ró*4/3*pi*R^3 * R^2 = integrál[0...R] c*ró*r^4*dr = c*1/5*ró*R^5.

A második és utolsó kifejezésből kiesik ró*R^5, és marad: 2/5*4/3*pi = c*1/5, amiből c = 8/3*pi. Az integrál tehát 8/3*pi*ró(r)*r^4*dr nullától a föld sugaráig, a ró(r) függvényt meg a wikipediás geológiai grafikonból veszed.

Ez esetben javaslom a Wikipedia "Earth" című cikkét, ahol az adatboxban ott szerepel az érték és a hivatkozás.

Moment of inertia factor 0.3307