Kezdőoldal » Tudományok » Természettudományok » Ki tudja a legérdekesebben...

Tom Benko kérdése:

Ki tudja a legérdekesebben vagy legszebben bizonyítani?

Figyelt kérdés

Igazoljuk, hogy ha p két egymást követő egész szám szorzata, akkor az

a(0)=√p, a(n)=√(p+a(n-1))

rekurzív sorozat határértéke egész szám!



2022. jan. 18. 22:10
 1/5 krwkco ***** válasza:
91%

Bizonyítani nem tudom, de ha p=sqrt(n*(n+1)). akkor a határérték n+1 lesz.

Excellel kiszámoltam. Egymás alá generáltam az első két tagot, kijelöltem és jó sok sorba lehúztam.

2022. jan. 19. 04:14
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/5 anonim ***** válasza:

Az enyém nem az érdekes/szép, hanem a rutinmegoldás lesz.

b(n) = a(n)^2 bevezetésével b(n) = p + gyök(b(n-1)). p = k(k+1) nemnegatív, így a(n) szintén, a négyzetre emelésnek tehát nincsenek buktatói, reverzibilis a(n) = gyök(b(n))-nel. Az állítás tehát átfogalmazható arra, hogy b sorozat határértéke négyzetszám.

Ha a b sorozatnak van határértéke, akkor az c = k(k+1) + gyök(c)-t kielégíti. c-re megoldva a másodfokú egyenletből c = k^2 és (k+1)^2 megoldások jönnek ki, mindkettő négyzetszám. Azért nem egyértelmű a k, mert ugyanaz a p kétféle k-ból állhat elő, (-5)*(-4) = 4*5 miatt.

Maradt a kérdés, hogy létezik-e határérték. Igen, mert b monoton nő (triviális) és felső korlátja 2p. p=0 esetén a sorozat nulla, p=2 és afelett pedig gyök(2p) ≤ p miatt b(n) = p + gyök(b(n-1)) ≤ p + p.

2022. jan. 19. 10:48
Hasznos számodra ez a válasz?
 3/5 tatyesz ***** válasza:
100%

lim a(n) = √(p + √(p + √(p + √..... ))) = A


p + A = A²


A² - A - p = 0


A² - A - k(k+1) = 0


Diszkrimináns:


1 + 4k(k + 1) = (2k + 1)²


A₁,₂ = 1 ± k


A ≥ 0 feltétel miatt A = 1 + k

2022. jan. 19. 12:45
Hasznos számodra ez a válasz?
 4/5 A kérdező kommentje:
Eddig jó. Egy kerülőutas és egy elemi igazolás. Jöhet még, ha tudtok!
2022. jan. 19. 23:06
 5/5 anonim ***** válasza:
Fotókkal videófelvetellel vagy tanúkkal , ha te voltál de nem látta senki tagadd le .
2022. febr. 15. 18:31
Hasznos számodra ez a válasz?

Kapcsolódó kérdések:




Minden jog fenntartva © 2025, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!