Ki tudja a legérdekesebben vagy legszebben bizonyítani?

Bizonyítani nem tudom, de ha p=sqrt(n*(n+1)). akkor a határérték n+1 lesz.

Excellel kiszámoltam. Egymás alá generáltam az első két tagot, kijelöltem és jó sok sorba lehúztam.

Az enyém nem az érdekes/szép, hanem a rutinmegoldás lesz.

b(n) = a(n)^2 bevezetésével b(n) = p + gyök(b(n-1)). p = k(k+1) nemnegatív, így a(n) szintén, a négyzetre emelésnek tehát nincsenek buktatói, reverzibilis a(n) = gyök(b(n))-nel. Az állítás tehát átfogalmazható arra, hogy b sorozat határértéke négyzetszám.

Ha a b sorozatnak van határértéke, akkor az c = k(k+1) + gyök(c)-t kielégíti. c-re megoldva a másodfokú egyenletből c = k^2 és (k+1)^2 megoldások jönnek ki, mindkettő négyzetszám. Azért nem egyértelmű a k, mert ugyanaz a p kétféle k-ból állhat elő, (-5)*(-4) = 4*5 miatt.

Maradt a kérdés, hogy létezik-e határérték. Igen, mert b monoton nő (triviális) és felső korlátja 2p. p=0 esetén a sorozat nulla, p=2 és afelett pedig gyök(2p) ≤ p miatt b(n) = p + gyök(b(n-1)) ≤ p + p.

lim a(n) = √(p + √(p + √(p + √..... ))) = A

p + A = A²

A² - A - p = 0

A² - A - k(k+1) = 0

Diszkrimináns:

1 + 4k(k + 1) = (2k + 1)²

A₁,₂ = 1 ± k

A ≥ 0 feltétel miatt A = 1 + k