Ki tudja a legérdekesebben vagy legszebben bizonyítani?
Igazoljuk, hogy ha p két egymást követő egész szám szorzata, akkor az
a(0)=√p, a(n)=√(p+a(n-1))
rekurzív sorozat határértéke egész szám!
Bizonyítani nem tudom, de ha p=sqrt(n*(n+1)). akkor a határérték n+1 lesz.
Excellel kiszámoltam. Egymás alá generáltam az első két tagot, kijelöltem és jó sok sorba lehúztam.
Az enyém nem az érdekes/szép, hanem a rutinmegoldás lesz.
b(n) = a(n)^2 bevezetésével b(n) = p + gyök(b(n-1)). p = k(k+1) nemnegatív, így a(n) szintén, a négyzetre emelésnek tehát nincsenek buktatói, reverzibilis a(n) = gyök(b(n))-nel. Az állítás tehát átfogalmazható arra, hogy b sorozat határértéke négyzetszám.
Ha a b sorozatnak van határértéke, akkor az c = k(k+1) + gyök(c)-t kielégíti. c-re megoldva a másodfokú egyenletből c = k^2 és (k+1)^2 megoldások jönnek ki, mindkettő négyzetszám. Azért nem egyértelmű a k, mert ugyanaz a p kétféle k-ból állhat elő, (-5)*(-4) = 4*5 miatt.
Maradt a kérdés, hogy létezik-e határérték. Igen, mert b monoton nő (triviális) és felső korlátja 2p. p=0 esetén a sorozat nulla, p=2 és afelett pedig gyök(2p) ≤ p miatt b(n) = p + gyök(b(n-1)) ≤ p + p.
lim a(n) = √(p + √(p + √(p + √..... ))) = A
p + A = A²
A² - A - p = 0
A² - A - k(k+1) = 0
Diszkrimináns:
1 + 4k(k + 1) = (2k + 1)²
A₁,₂ = 1 ± k
A ≥ 0 feltétel miatt A = 1 + k
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2025, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!