Kitapétázható olyan rácsozattal a sík, melyben valamennyi rácsterület egységnyi és nincs két azonos szöget bezáró rácsélpár?

Ha jól rémlik, akkor a létező összes egységnyi oldalú rombusszal lefedhető a sík hézag-és átfedésmentesen.

Hogy ugyanez egységnyi területű rombuszokkal megoldható-e azt nem tudom, de valószínűsítem, hogy igen.

"Kitapétázható olyan rácsozattal a sík, melyben valamennyi rácsterület egységnyi és nincs két azonos szöget bezáró rácsélpár?"

Igen.

Vegyünk egy szabályos háromszögekból álló rácsot. Válasszuk ki az egyik háromszög középpontját. A rácspontok a középpont köré írt körökön fekszenek. Nevezzük a két szomszédos kör között elhelyezkedő háromszögeket egy sávhoz tartozónak. (Nagyjából.)

Mozdítsuk el a középső háromszög egy csúcsát úgy egy kicsit, hogy a területe ugyanakkora maradjon. Az elmozdulás ezen belül legyen véletlenszerű, vagy valamilyen nem ismétlődő kicsi irracionális számmal vezérelt.

Ismételjük meg ugyanezt az egyel kijjebb levő sáv külső körön fekvő csúcspontjain végighaladva. És még tovább az egyre távolabbi sávokat sorra véve a végtelenig.

Ily módon minden háromszögünk különbözőképpen szabálytalan lesz, de azonos területű.