Meghatározná valaki "x" paritását (páros, vagy páratlan voltát) a pozitív egész számok halmazán az alábbi esetben: x³=3x²+6x+1? Az ún. "nagy Fermat sejtés" alternatív megoldásához lenne köze...

Az eléggé magától értődő, hogy ha a^n+b^n=c^n esetén nincs egész megoldás, akkor a^(n*m)+b^(n*m)=c^(n*m) esetén sem lesz, hiszen ahhoz az kellene, hogy az a^n+b^n=c^n-nek nem hogy egész megoldása kell, hogy legyen, hanem a-nak, b-nek, c-nek négyzetszámnak, köbszámnak, egész hatványnak kellene lennie.

Így aztán – ahogy utaltál is rá – két dolgot kell bizonyítani, hogy n=4-re nincs megoldás. Ezt írta le Fermat. Ebből már következik, hogy n=2^m-re sem lesz megoldás.

A másik dolog, amit bizonyítani kell – és amire te is utaltál –, hogy páratlan n-re sincs megoldás. De ha sikerül bizonyítani minden páratlan prímre, az is elegendő a nagy Fermat-sejtés bizonyításához.

> Egyébként tökre örülnék, ha pl. el is olvasnátok néha amit írok. Pl. az alapkérdéshez fűzött megjegyzésem utolsó mondatait is.

Elolvastam. Ezt a témát már pedzegetted más kérdés kapcsán. Nincs olyan, hogy ilyen, vagy olyan irányból határozott egyenlőség/egyenlőtlenség. Ez a fajta megkülönböztetés csak a te fejedben él.

> Belekeveredtél 2*Sü (nyugi, ez nem egyszerű bizonyítás, velem is előfordult, ezért tartott több hétig). Az evidens, hogy "a⁴+b⁴=c⁴" és "a²+b²=c²" ugyanazokra a számokra egyszerre nem teljesülhet, ugye? (Különben ez lenne a világ legegyszerűbb bizonyítása). Tehát n=4 esetén a teljesíthetőségi feltétel eleve kizárja "a²+b²=c²" teljesülésének lehetőségét

Azt hiszem te keveredtél bele…

n=4 esetén Fermat a következőből indult ki:

a⁴+b⁴=c⁴

d:=c²

Ugye ha c egész, akkor d-nek is egésznek kell lennie.

Így:

a⁴+b⁴=(c²)²

a⁴+b⁴=d²

Ha ennek nincs olyan megoldása, ahol a, b és d is egész, akkor nyilván nincs olyan megoldás sem, ahol a, b és c is egész. A a⁴+b⁴=d² egyenletetről mutatta meg Fermat, hogy nincs, nem lehet egész megoldása, amivel csak azt bizonyította, hogy akkor a a⁴+b⁴=c⁴ egyenletnek sem lehet. Az a²+b²=c² egyenletről ezzel nem mondott semmit. Az meg köztudott, hogy az a²+b²=c² egyenletnek végtelen sok megoldása van.

Szerintem ott zavarodtál össze, hogy önmagába fel lehet írni az egyenletet a⁴+b⁴=c² alakban is, csak akkor az ebben szereplő c nem ugyanazt az értéket jelenti, mint az a⁴+b⁴=c⁴ egyenletben.

~ ~ ~

> a "b²+1=c²" nem ebből ered

Hát ebből biztos, hogy nem. Így továbbra sem értem, hogy miből ered, és miért releváns a kérdés szempontjából.

> Mit értesz "n" eleme "P" alatt?

Bocs, a ℙ az a prímszámok halmazát jelenti. A Fermat-tétel esetén az

a³+b³=c³

a⁵+b⁵=c⁵

a⁷+b⁷=c⁷

a¹¹+b¹¹=c¹¹

a¹³+b¹³=c¹³

…

eseteket.

> Akkor most a prímek nem páratlanok?

A 2 kivételével páratlanok. Viszont a páratlan számok nem mind prímek. Ezért írtam, hogy a páratlan számokra való belátás helyett elegendő a páratlan prímekre való belátás is. Abból már következik minden páratlan számra való beláthatóság is.

> De csak pont annyi infót adtam, hogy te ne tudd megoldani.

Nem lenne egyszerűbb az, hogy ha valamiről nem akarsz írni, akkor nem írsz, ha meg akarsz róla írni, akkor írsz? Akkor mégis mire jó bedobni egy kontextus nélküli egyenletet, ha kussolni kell róla?

(Amúgy eszem ágában sincs megpróbálni általános iskolai szintű összefüggések mentén bizonyítani a Fermat-sejtést. Nyilván nem viccből marad évszázadokig megoldatlan a probléma, és nem viccből tört bele a bicskája olyan magasan képzett matematikusoknak, akik éveket, évtizedeket töltöttek a bizonyítással.)

> Az alapkérdésben szereplő paritásproblémához sem szóltál hozzá érdemben.

De. Lásd: #2-es válasz. A lényeg, hogy a kérdésben szereplő egyenletnek nincs egész megoldása, márpedig a paritás csak egész számokra értelmezett fogalom.

> A csak a fejemben létező dolgokról meg annyit, hogy "a¹+b¹=c¹" szerinted mennyire határozott egyenlőség

Ha azt mondod, hogy az a+b=c az igaz, akkor az egy egyenlőség. Akkor viszont ezzel 100%-ban ekvivalensek (nem látszólag, hanem lényegileg, tartalmilag) a következő egyenletek is:

c = a + b

a = c - b

c - b = a

b = c - a

c - a = b

c - a - b = 0

0 = c - a - b

a + b - c = 0

0 = a + b - c

És lehet ezt a végtelenségig ragozni, ha bármilyen műveletet elvégzünk az egyenlet bal és jobb oldalán is. Pl.:

(a+b)/2 = c/2

5b = 5c - 5a

stb…

Itt nem az van, hogy van egy a+b=c egyenlet, amihez képest a b=c-a egyenlet bármilyen szempontból másodlagos lenne. A kettő egy és ugyanaz, a b=c-a egyenlet semmivel nem másodrangúbb, mint az a+b=c egyenlet.

> c-re hány különféle a-t és b-t találsz?

És a-ra hány különféle b-t és c-t? És b-re hány különféle a-t és c-t?