Mit takarnak a Nemteljességi tételek?

Ugye? :D

Elolvastam, és nem értem. Azt írja, hogy minden ("kellően bonyolult" == ezt és ezt tartalmazó) rendszerben vannak olyan állítások, amik nem bizonyíthatóak, de az ellenkezőjük sem. Ennél többet nem tudok mondani róla :D

Ha megvannak az alapok (matematikai logika), akkor a wikis szedet jó lesz neked:

[link]

[link]

Ha az alapok nincsenek meg, akkor mese szintű bevezetésként: egy logikai rendszer (ld. matematika) úgy épül fel, hogy vannak bizonyos alapigazságok (axiómák), amiket igaznak teszek fel (valamiből ki kell indulni), és ezekből vezetek le aztán dolgokat, logikai következtetésekkel.

Klasszikus példa. ha én azt teszem fel a kiinduló axiómáimnak, hogy

- Minden ember halandó

- Szókratész ember

Ebből a kettőből logikai úton le tudom vonni, hogy Szókratész halandó.

Gödel első tétele azt mondja ki, hogy minden "szép" (ez az, amihez mélyebb ismeretek kellenének, hogy pontosan mi is ez, de kb. olyanok, amiket azért elvárna az ember, leginkább itt arról van szó, hogy a természetes számok tulajdonságait leíró) axiómarendszerből (axiómák halmazából) kiindulva lesz olyan állítás, amit nem tartalmaz az a rendszer, független tőle, tehát lehet igaz is meg hamis is, mindkét esetben értelmes rendszert kapunk, nem jutunk ellentmondásra.

Matematikában az olyasmit jelent, hogy a soha nem lesz a matematika egy befejezett rendszer, mindig lehet bővíteni, mert lesznek olyan (logikai) állítások, amikről nem mond semmit a rendszerünk.

A második az még mókásabb, az azt mondja ki, hogy egy "szép" axiómarendszerről még azt is mondhatjuk, hogy az egyik ilyen nem bizonyítható állítás nem más, minthogy az alap kiindulási axiómarendszerünk nem vezet-e valahol ellentmondásra (azaz nincs-e olyan állítás, amit le lehet vezetni az axiómákból, meg az ő tagadását is).

Ez a matematikában azt jelenti, hogy az általunk használt axiómarendszeren belül nem tudjuk bizonyítani, hogy az tényleg ellentmondásmentes, amiből az jön, hogy arról a logikai rendszerről, amit általában matematikának hívunk (ez az ún. ZFC axiómarendszer), és amiben a matematikusok dolgoznak, arról egyszerűen nem tudjuk belátni, hogy valóban működik-e, és nem vezet-e valahol önellentmondásra.

Korábban már volt hasonló kérdés, ott bizonyos szempontból részletesebben ki volt fejtve

http://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__alkalmazott-tudoma..