Matek órán adta fel ezt a példát a tanár. A pelda: Keressétek meg azon p, q, r prímszámok szorzatának összes lehetséges értékét amelyen fennáll hogy: p²- (q+r) ²=637 Ha lehetne akkor le is kéne vezetni a megoldást?

p²-(q+r)²=637

vegyük észre, hogy ez egy nevezetes azonosság: a²-b²=(a-b)(a+b)

tehát (p-q-r)(p+q+r)=637

ez egy háromismeretlenes diofantoszi egyenlet

keressük meg 637 osztópárjait: 1*637, 7*91, 13*49

1. eset: 1*637

a) p-q-r=1

p+q+r=637

(1)+(2): 2p=638, p=319, nem prím

b) p-q-r=638

p+q+r=1, ez már eleve ellentmondás, mert 3 1-nél nagyobb pozitív egész szám összege, sose lesz 1

2. eset: 7*91

a) p-q-r=7

p+q+r=91

(1)+(2): 2p=98, p=49, nem prímszám

b) p-q-r=91

p+q+r=7

(1)+(2): 2p=98, p=49, nem prímszám

3. eset: 13*49

a) p-q-r=13

p+q+r=49

(1)+(2): 2p=62, p=31, ez prímszám

visszahelyettesítjük p-t: 31-q-r=13

31+q+r=49

vonjunk ki mindkét egyenletből 31-et: -q-r=-18

+q+r=18

a továbbiakban csak a (2) egyenlettel kell foglalkozni, hiszen az (1) következik a (2)-ból.

q+r=18, tehát 18-at két prímszám összegére kell felbontani: 5+13, 7+11

Tehát két megoldás van:

1. a három prímszám 31, 5, 13, a szorzatuk: 2015

2. a három prímszám 31, 7, 11, a szorzatuk: 2387