A derékszögű háromszögben a befogók oldalfelezőinek a hossza gyök52 és gyök73 cm. Határozzátok meg a befogók hosszát!?

Mit ad meg az oldalfelező. Az oldalfelező merőleges ugye azon pontok halmaza, amik a két csúcstól egyenlő távolságra vannak. Ergo ha az AB oldal oldalfelezőjéről van szó, akkor az oldalfelező bármelyik pontja ugyanolyan távolságra van az A, mint a B csúcstól. Hasonlóan a BC oldalra állított szakaszfelező merőleges bármelyik pontjáról elmondható, hogy ugyanolyan távolságra van a B, mint a C ponttól.

Ebből következik, hogy az oldalfelező merőlegesek egy pontban – jelöljük O-val – metszik egymást. Hiszen a metszéspont egyrészt része az AB-re állított oldalfelező merőlegesnek, így az AO távolság egyenlő a BO távolsággal. De másrészt a metszéspont része a BC szakaszra állított oldalfelező merőlegesnek, ahol meg a BO távolság egyenlő a CO távolsággal. Ha AO=BO és BO=CO, akkor AO=CO, azaz az O pont rajta lesz az AC oldalra állított oldalfelező merőlegesen is.

Ez az O pont a háromszög köré írható kör középpontja lesz. Hiszen a kör olyan pontok halmaza, amelyek a középponttól egyenlő távolságra vannak. És mivel itt mind a három csúcs egyenlő távolságra van az O ponttól, így természetesen ugyanazon a körön fognak elhelyezkedni.

~ ~ ~

A Thalész-tételt nem fogom bizonyítani, bizonyára benne van a tankönyvedben. Mindenesetre ha egy kör átmérőjének két végpontját veszed, és veszel egy harmadik pontot, ami a körön fekszik, akkor egy derékszögű háromszöget fogsz kapni. Megfordítva az is igazolható, hogy csak akkor fogsz derékszögű háromszöget kapni, ha a harmadik pont a körön fekszik. Ha a körön kívül van, akkor hegyesszögű, ha a körön belül van, akkor tompaszögű háromszöget kapsz.

~ ~ ~

A kettőből együtt következik, hogy egy derékszögű háromszög oldalaira állított szakaszfelező merőlegesek metszéspontja lesz, és ez a metszéspont rajta fog lenni az átfogón, méghozzá az A és B ponttól egyenlő távolságra fog lenni.

Valahogy így: [link]

~ ~ ~

Nézzük mit ismerünk. Ismerjük mondjuk az egyik oldalfelező hosszát, mondjuk az OE távolságot. Ha megnézzük az CEOF négyszöget, akkor azt látjuk, hogy a C-nél lévő szög derékszög, hiszen ez a háromszög derékszöge. Az F-nél és az E-nél lévő szög is derékszög, hiszen az oldalra merőlegest állítottunk. Így itt egy téglalapról van szó. Mivel a téglalap egyik oldala OE hosszúságú, ezért a vele szemközti oldal, a CF távolság is ugyanennyi. És mivel oldalFELEZŐ merőlegesről van szó, így ez lesz a befogó fele. Ergo az egyik befogót megkapjuk, ha vesszük az oldalfelező merőleges hosszának a kétszeresét. A másik befogó esetén ugyanúgy számolhatunk. Az átfogó meg könnyen megkapható Pitagorasz tétellel, mondjuk az AOF háromszögből, azon belül az OF távolságból (ami a feladatban adva van), valamint az AF távolságból (ami azonos a CF távolsággal, ami azonos a OE távolsággal, ami meg szintén meg van adva a feladatban). Vagy kiszámolható a már kiszámolt két befogóból is természetesen.