Adottak az ax^2+bx+c=0 és cx^2+bx+a=0 egyenletek, melyek együtthatói nem nullák. A két egyenletnek közös gyöke van. Igaz-e, hogy a=c?

Ha van közös gyökük, akkor ott a különbségük is 0, tehát:

(a-c)*x^2 + (c-a) = 0

Ha a=c, akkor 0=0 lesz az eredmény, tehát a=c lehet. Most nézzük meg, hogy ha a=/=c, akkor mi a helyzet; ekkor osztunk (a-c)-vel, ekkor:

x^2 - 1 = 0, amire x=+-1 a megoldás. Ezzel azt kaptuk meg, hogy úgy is lehet közös gyökük, hogy a=/=c, ekkor a közös gyök vagy 1 vagy -1.

És valóban; ha x=1, akkor a+b+c és c+b+a helyettesítési értékeket kapjuk, és mivel ezek egyenlőek, ezért mindkettő lehet 0.

Ha x=-1, akkor a-b+c éd c-b+a helyettesítési értékeket kapjuk, ezek is egyenlőek.