Mit jelent az, hogy a differenciálegyenlet analitikusan nem megoldható?

Azt jelenti, hogy a megoldást nem lehet "egyszerű" elemek felhasználásával felírni. Itt van egy táblázat arról, hogy mi számít egyszerűnek:

[link]

Az analitikus kifejezésekben felhasználható alapfüggvények és műveletek az utolsó előtti oszlopban vannak. Amikor egy diffegyenlet analitikusan nem megoldható, akkor a zölddel jelölt függvények és műveletek nem elegendőek ahhoz, hogy felírd velük a megoldást. Az y' = e^(x^2) például ilyen diffegyenlet.

A megoldás és az analitikus megoldás két külön dolog.

Amit nem lehet integrál nélkül felírni, az nem analitikus megoldás. Vagy te értettél félre valamit, vagy rosszul mondták neked az egyetemen.

Mint írod, az integrálást a számítógép "nyilván" numerikusan végzi. De nem azért mert úgy hatékonyabb, hanem mert (az analitikussá nem alakítható integrálokat) máshogy nem lehet. Nincs rá semmilyen trükk, hogy megmondd nekem e^(x^2) határozott integrálját 0 és 1 között. Ha ki akarod számolni, akkor egyetlen dolgot tudsz tenni, nekiállsz numerikusan, és meghatározod tetszőleges pontosságig.

Ettől persze még vannak olyan integrálok, amelyeket speciális esetekben szépen ki lehet számolni, pl. ∫e^(-x^2) nullában vagy végtelenben, de tetszőleges x-re már nem lehet megúszni a numerikus közelítést.