Hogy számoljam ki az alábbi integrál értékét?
A 2x/(sin(2x) + cos(2x) + 1) függvényt (a jobb átláthatóság kedvéért: Egy tört, aminek a számlálója 2x, a nevezője sin(2x) + cos(2x) + 1) kellene 0 és pi/4 között integrálnom. Megpróbálkoztam a t=tg(x) helyettesítéssel, majd azzal, hogy a szinuszt és koszinuszt átírom 2x-ből x függvényébe, és esetleg azután helyettesítek, egy parciális integrálással is megpróbálkoztam, de egyik sem vezetett eredményre; mindegyiknél gondot okozott az, hogy a nevezőben nem konstans van, hanem elsőfokú tag.
A WolframAlpha szerint a pontos megoldás pi*ln(2)/8, vagyis elvileg közelítő módszerek nélkül is meg kéne lehessen oldani(ha jól értettem, a Wolfram egy végtelen összeget használ a megoldáshoz). Van esetleg valakinek valamilyen elképzelése, hogy hogy juthatnék el a végeredményhez?
Előre is köszönök mindennemű segítséget.
Tom Benko: Köszönöm a választ, ezzel a képlettel sikerült a nevezőt átírnom az alábbira:
2*cos(x)*(sin(x) + cos(x))
És így esetleg a kettővel le tudom egyszerűsíteni, de tovább sajnos nem jutottam. Ki tudnád kérlek fejteni egy kicsit bővebben?
válasza:Most használhatod a helyettesítést. Esetleg sin(2x)-et kiemelve a kotangens linearizálását.
Viszont a primitív függvényre a WA elég csúnya cuccot mond, integrállogaritmust, azaz egy végtelen sort.
válasza:Ez sztem nem megy valós integrálással.
Tuti valami reziduumtételes komplex integrálos ez a feladat.
Rendszerint z=e^(ix)-es helyettesítéssel kell próbálkozni.
Tanultál komplex analízist?
Nekem régen volt már, és itt nem is tudom leírogatni, eléggé más, mint a valós integrálás.
De nézz utána a reziduumtételnek és pár példát is biztosan találsz.
Tom Benko: Köszönöm, ma már nem, de holnap megpróbálom.
#4: Sajnos csak valós analízist tanultam. A feladatra amúgy egy erdélyi matematikalap tizenkettedikeseknek kitűzött feladataként bukkantam rá, ami az itteni tananyagot figyelembe véve alapintegrálokat, parciális és helyettesítéses integrálást, egy-két trükköt, határozott és improprius (vagy az is a határozotthoz tartozik?) integrálást jelent. Szóval elvileg ezekkel kéne lehessen megoldani, viszont meglehet, hogy mivel egy szakmai lap, ezért valóban a megoldás is (amire nem bukkantam rá a lapban) a középiskolainál sokkal komolyabb anyagot vár el. Mindenesetre utánanézek, köszönöm a választ.
A Wolframmal kicsit még szórakozgattam, és azt mondja, ez ugyanennek a függvénynek egy másik formája:
(x*csc(x + pi/4)*sec(x))/sqrt(2)
Ezt ezután már elég hosszasan, de meg lehet oldani parciális integrálással (ha jól tudom, létezik általános formája akárhány függvény szorzatára), és végülis csak el kell jutni eddig az alakig, ami gondolom legtöbb két-három oldalban elérhető.
A fenti válaszok sokat segítettek, köszönöm. Mindazonáltal azt hiszem, a feladat kitalálói azt várták el, hogy az ember eljusson eddig az alakig, és innen parciálisan folytassa; ez nagyjából egybevág azzal a tananyaggal, amit kérnek az iskolában, egy kevéssel többet vár el, azonban nagyrészt csak a megfelelő irányba kell elvinni a függvényátalakítást (egy olyan módon, ami valószínűleg keveseknek jutna eszébe).
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!