Mikor nagyobb a valószínűsége?

Szerintem ha n összetett, ugyanis prím n esetében 2n-1 hárommal való oszthatósága a véletlen 33% helyett 50% ami hatalmas bukó. Hiszen ugye egy prím hármas maradéka csakis 1 vagy 2 lehet, az 1-es maradékúnál 2n-1 továbbra is 1-es maradékú lesz, a 2-es maradékúnál azonban 2n-1 hárommal osztható.

Ez persze csak egy megérzés, de ha 2n-1 prímségének vizsgálatánál rögtön az első lépésben 33% helyett 50% vérzik el, az nem jó jel.

Közben lefuttattam 6 és 7 millió közötti n-ekre, és az jött ki, hogy a prím n-ek esetén 2n-1 8.1%-ban prím, az összetett n-ek esetén pedig 12.5%-ban. Ez elég komoly különbség.

Ha végiggondolod, az eredeti gondolatmenet nem csak a 3-mal való oszthatóságra áll: prím n esetén 2n-1 hárommal való oszthatóságának valószínűsége 1/2, öttel való oszthatóságának valószínűsége 1/4, 7-tel 1/6, 11-gyel 1/10... Tehát végig nagyobb, mint az átlagos 1/3, 1/5, 1/7, 1/11 stb valószínűségek.

Na de a valószínűségek aránya nem abból ered! Hanem abból, hogy a sima számokra a 2n-1 prímségének a valószínűsége:

2/3 * 4/5 * 6/7 * 10/11 * ... azaz minden lehetséges p osztót (p-1)/p valószínűséggel kerül el a szám

Míg prím n-ekre a 2n-1 prímségének valószínűsége:

1/2 * 3/4 * 5/6 * 9/10 * ... azaz minden lehetséges p osztót csak (p-2)/(p-1) valószínűséggel kerül el a szám.

A sorozatok ugye nagyjából gyök(2n) magasságig mennek el. A kérdés pedig a két produktum aránya. Tehát a felsőt le kell osztani az alsóval. Ennek az értéke pedig ha megnézed, 500 elem után (ami kb 3600 körüli prímekig megy, azaz az általam tesztelt 13 millió körüli intervallumhoz szükséges): 1.515. Tehát jól egybevág az általam emprikiusan megállapított számokkal.