A 10^80! kifejezés melyik esetben nagyobb, ha a faktoriális a kitevőben van vagy ha az egész kifejezésre vonatkozik?

Ha veszed mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát, akkor nem változik a köztük fennálló reláció (lévén az lg(x) függvény szigorúan monoton növő függvény), ekkor használhatjuk a logaritmus azonosságait;

lg(10^80!)=80!*lg(10)=80!

lg((10^80)!)=lg(10^80*(10^80-1)*...*1)=lg(10^80)+lg(10^80-1)+...+lg(1), ez egy 10^80 tagú összeg, ebből intuitíve lehet érezni, hogy a 80! lesz a nagyobb (legfeljebb nem lesz igazunk, de egy próbát megér). Ha minden tagját felülről becsüljük lg(10^80)=80-nal, akkor ezt az eredményt kapjuk: 80*10^80, azt kell belátnunk, hogy ez a megnövelt összeg is kisebb, mint a másik, tehát:

80!>80*10^80, osztunk 80-nal:

79!>10^80, vegyük újra mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát, ekkor ez marad:

lg(79)+lg(78)+...+lg(1)>80, ez már akár manuálisan is kiszámolható; a bal oldal értéke ~116, ez nagyobb, mint 80, tehát a feltevés igaz volt, és mivel a kisebb tagot növelve még mindig kisebb maradt, ezért a 10^80! (kitevőben a !) lesz a nagyobb szám.

Értelemszerűen nem minden kitevőre lesz igaz... De ha esetleg a WolframAlphába így írod be:

[link]

Akkor láthatod, hogy egy 1-nél nagyobb számot kapsz (illetve a WA csak az eredmény nagyságrendjét adja ki), következésképp a tört számlálója nagyobb, mint a nevezője, vagyis 10^80! nagyobb, mint (10^80)!.

Máshogy megközelítve a Stirling-formula segítségével mely aszimptotikusan konvergál a faktoriálishoz :

stirling(n) = sqrt(2)*sqrt(pi)*sqrt(n)*(n*exp(-1))^n

Ahol sqrt a négyzetgyökvonás, exp az euler szám adott hatványa.

A (10^80)! és a 10^(80!) közötti vegyük a logaritmusait mint ahogy írták már, de én Stirling-formulával közelítem:

logstirling(n) = n*(log(n) - 1) + log(n)/2 + log(2)/2 + log(pi)/2

logstirling(10^80) = 7.95657055180967*10^81

log(10^stirling(80)) = stirling(80) = 7.14949447318116*10^118

Innen látszik, hogy 10^(80!) a nagyobb.

Szívesen.

Bocsi, egy sajtóhiba:

A múltkor a Stirling-formulának a logaritmusát természetes meg 10-es alapú logaritmussal véve is átírtam és 10-es alapúval számoltam, de ide a természetes logaritmussal véve írtam fel a formulát.

A 10-es alapúra véve:

logstirling(n) = n*(log(n) - log(e)) + log(n)/2 + log(2)/2 + log(pi)/2

Egyébént meg, ha vesszük a Stirling-formulának a 10-es alapú logaritmusának segítségével a hányadosukat:

10^80!/((10^80)!) ~ 10^(stirling(80)-logstirling(10^80)) = 10^(10^118.854275334770)

Durván kiadja amit a [link] kiadott pontosabban.

Meg vagyok győzve, de érdekes, hogy n<=27-ig fordítva van.

10^n!<(10^n)!