Hogyan kell ezt meghatározni?

Itt megnézheted a megoldást:

[link]

Megfelel? Érthető?

Mivel az egyenesek az origón mennek át, ezért y=mx alakban keressük őket, 1 speciális esetet kivéve, amikor x=0 alakú az egyenes, ezt majd külön meg kell néznünk. Egy egyenes akkor érintője egy körnek, hogyha az egyenleteik által alkotott egyenletrendszernek pontosan 1 megoldása van, tehát az a kérdés, hogy milyen m-re lesz az

x^2+y^2-8x-8y+p=0 }

y=mx } egyenletrendszernek 1 megoldása. Kifejeztük y-t, ezt írjuk be az első egyenletben y helyére:

x^2+(mx)^2-8x-8mx+p=0, kibontjuk a zárójelet:

x^2+m^2*x^2-8x-8mx+p=0, kiemelünk x^2-et és x-et:

(1+m^2)*x^2-(8+8m)x+p=0, ezt meg tudjuk oldani, mint egy másodfokú parametrikus egyenletet:

x=(-8-8m+-gyök((8+8m)^2-4p*(1+m^2)))/(2+2m^2), azt akarjuk, hogy ez 1 megoldás legyen, vagyis a gyökjel alatt 0-nak kell állnia:

(8+8m)^2-4p*(1+m^2)=0, ezt megoldjuk m-re; kibontjuk a zárójeleket:

64+128m+64m^2-4p-4m^2=0, összevonunk és rendezzük a bal oldalt:

60m^2+128m-4p+64=0, oszthatunk 4-gyel:

15m^2+32m-p+16=0, ennek a megoldása

m=(-32+-gyök(1024-960+60p))/30=(-32+-gyök(64+60p))/30, nem véletlen, hogy m-re két megoldást kaptunk, lévén külső pontból körhöz 2 érintő húzható.

Tehát a két egyenes, ami kell nekünk, y=((-32+gyök(64+60p))/30)*x és y=((-32-gyök(64+60p))/30)*x alakú, ebből felírható az egyenesek egy-egy irányvektora, majd a vektorokra felírható a skaláris szorzat, ahol a közbezárt szög 60°. Szerintem innen már be tudod fejezni.

Nézzük a speciális esetet;

x^2+y^2-8x-8y+p=0 }

x=0 }, ezt beírjuk az első egyenletbe x helyére:

y^2-8y+p=0, most is azt akarjuk, hogy 1 megoldás legyen, és ez ránézésre is megmondható, hogy p=16 esetén lesz így, mivel y^2-8y+16=(y-4)^2, és (y-4)^2=0-nak csak 1 megoldása van, y=4. Tehát a kör sugara 4 egység. Innen két lehetőség van arra, hogy belássuk, hogy ez nem lesz megoldás; az egyik, hogy direkt módon végigszámoljuk, hogy a másik érintő az y=0 alakú egyenes lesz, ekkor értelemszerűen ezek merőlegesek egymásra, tehát nem 60°-os szöget fognak bezárni, a másik lehetőség, hogy csak úgy zárhatnak be 60°-ot az egyenesek, hogyha vagy y=(gyök(3)/3)*x alakú az egyenes, ennek 2 metszéspontja van a körrel, vagy y=-(gyök(3)/3)*x alakú, ennek pedig nincs metszéspontja a körrel, tehát egyik lehetséges egyenes sem lesz érintő.