Hogyan oldjam ezt meg?

Jelöljük a magasságot M-mel, a négyzet átlójának felét d-vel, ekkor egy derékszögű háromszöget kapunk, ahol M és d a befogók, 3 az átfogó, tehát Pitagorasz tételéből:

M^2 + d^2 = 9, ezt d-re rendezve

d = gyök(9-M^2).

Mivel tudjuk, hogy a négyzet speciális deltoid, ezért annak a területképletével, átlók szorzata/2 -vel számolva a területét: 2*gyök(9-M^2)*2*gyök(9-M^2)/2=2*(9-M^2)=18-2M^2

Ezzel a test térfogata M*(18-2M^2)/3=6M-(2/3)*M^3

Ennek a maximumát deriválással tudjuk meghatározni:

(6M-(2/3)*M^3)'=6-2M^2, ahol ez 0, ott lehet maximum:

6-2M^2=0

3=M^2

+-gyök(3)=M

Értelemszerűen az M€[0;3] intervallumon van értelmezve a függvény, ezért az M=gyök(3)-mal kell foglalkoznunk, valamint az intervallum végpontjaiban kell megnézni az értékeket:

M=0 esetén 0 (ebben az esetben egy síkba esnek a rudak)

M=3 esetén 0 (itt pedig egy egyenesre)

M=gyök(3) esetén gyök(3)*(18-2*3)/3=4*gyök(3) m^3

Mivel a függvény folytonos a [0;3] intervallumon, ezért más helyen nem lehet maximuma (mert akkor ott 0 lenne a derivált), tehát M=gyök(3)-nál van maximuma, így a maximális térfogat 4*gyök(3) m^3.

Ehhez is van egy ábra:

[link]

Ha valamelyik adatot jó lenne még kiíratni az ábrán, szóljatok!