Az analóg óra mutatói azonos időközönként fedik egymást?

A válasz teljesen triviális módon igen, amennyiben olyan "ideális" órát tekintünk, amelynek a mutatói folytonos mozgást végeznek. Mivel mindkét mutató állandó szögsebességgel mozog, ezért a köztük lévő szögeltérés is periodikusan csökken nullára.

De a válasz akkor is igen, ha adott méretű és fogazású fogaskerekek hajtják őket. A kettő hányadosa ugyanis egy racionális szám, ezért ha a két mutató egy adott pillanatban fedésben van, akkor szükségszerűen később is lesznek olyan időpontok, amikor fedik egymást, és ezen fedések periodikusan következnek be. Ha máskor nem is, 12 óra múlva biztosan.

Az óra mutató periódusideje T1=24 óra, a percmutatóé pedig T2=1 óra.

Az óramutató egységnyi idő alatt f1 = 1/T1

a percmutató pedig f2 = 1/T2 kört tesz meg.

dt a két fedés között eltelt idő, ezalatt

f1*dt és f2*dt kört tesz meg a két mutató.

Ha kezdőpillanatnak egy fedést veszünk, akkor dt idő alatt (a második fedésnél) a percmutató egy körrel többet ment, mint az óramutató, tehát a megtett körök számának különbsége 1.

f2*dt - f1*dt = 1

dt(1/T2 - 1/T1) = 1

dt(T1-T2)/(T1*T2) = 1

dt = (T1*T2)/(T1-T2)

Azaz a fedések között eltelő idő: dt = 24*1/(24-1) = 24/23 óra, ami nagyjából 62.6 perc.

Ellenőrzés:

Ennyi idő alatt az óramutató: (24/23)/24 kört tesz meg, azaz 0.04347 kört, a percmutató pedig 24/23 kört, azaz 1.04347 kört. Tényleg pont egy körrel többet tett meg, mint az óramutató, tehát fedésben vannak.

Bocsánat, nagyot vétettem, az óramutató periódusideje 12 óra és nem 24 :D

De a levezetés ugyan az marad:

dt = (12*1)/(12-1) = 12/11 óra, amit beszorozva 60-nal, megkapjuk percben:

dt = 12/11*60 perc = 720/11 perc -> ami kijött neked, kérdező, az tényleg helyes