Matek feladat: Az ABCD paralerogramma AB oldalának B-hez közelebbi harmadolópontja H, a BC oldal felezőpontja F. Az AF és DH szakaszok metszéspontja P. Határozza meg a HP: PD arányt! Valaki segít megcsinálni?

koordináta geom.:

a paralelogrammát forgassuk és toljuk olyan helyzetbe h az A pont (0,0) helyen tehát origóban legyen. AB-t vehetjük 3 egységnek a magasságot 2m-nek a D pont y tengelytől való távolságát 2x-nek ekkor HP:PD arány nem változik. Így A(0,0) B(3,0) C(3+2x,2m) D(x,2m) F(3+x,m) H(2,0), könnyen felírható az A,F pontokon és a D,H pontokon átmenő egyenes egyenlete. Az egyenlet rendszer megoldásával megkapjuk a P pont koordinátáit. Ennek ismeretében DP,PH pontok távolsága meghatározható. Ha vmi nem megy írj!

Igazad van, picit favágás a módszer de abszolút megoldható: a D pont origótól vett távolságát nevezzük át inkább 2l-re mivel az x szerepel az egyenes egyenletében is. A(0,0) és F(3+L,m) pontokat összekötő egyenes: meredeksége m/(3+L) és mivel az origón megy át így csak x-el kell ezt szorozni tehát: e1(x)=[m/(3+L)]*x; D(2L,2m) és H(2,0) pontokon átmenő egyenes egyenlete: meredeksége -[2m/(2-2L)] mivel az x=2 helyen metszi az x tengelyt így (x-2)-vel kell ezt szorozni {könnyen belátható mert így x=2 esetén 2-2=0 a meredekség pedig biztosan jó} e2(x)=-[2m/(2-2L)](x-2)

A két egyenes metszés pontja azon az x helyen van amelyre e1(x)=e2(x) => mx/(3+L)=-(2m(x-2))/(2-2L) => {jobb o. 2 vel egyszerűsíthető és az egész egyenlet leosztható m-el mert feltételezzük h a magasság nem 0} => x/(3+L)=-(x-2)/(1-L) =>{bal o.-n a számlálót és a nevezőt is (1-L)-el szorozva a tört nem változik J.o ugyan így (3+L)-el szorozva; mindkét oldalon azonos nevezőjű tört fog állni /(3+L)(1-L)/ így ezzel érdemes beszorozni az egyenletet} => x(1-L)=(2-x)(3+L) => x-xL=6+2L-3x-xL => 4x=6+2L => x=3/2+L/2;

Ezt az e1(x)-be visszahelyettesítve megkapjuk, hogy {e2(3/2+L/2)=}e1(3/2+L/2)=(m/(3+L))[3/2+L/2]={mivel 3+L kiesik}=m/2;

D, P és H pontok y tengelyre vetülése legyen D',P' és H', ekkor HP:PD=H'P'=P'D' igaz. így D'(0,2m) P'(0,m/2) és H'(0,0)-ból egyértelműen látszik hogy ez az arány (m/2):(2m-m/2) => (m/2):(3m/2) => 1:3.

Remélem segítettem vele! Légyszíves jelezz vissza hogy érted-e és hogy jó-e a megoldásom.