Hogyan bizonyítanátok/oldanátok meg?
1. Három szomszédos pozitív egész szám köbének összege milyen feltétel mellett osztható 18-cal?
2.Igazoljuk, hogy ha négy egymás utáni pozitív egész szám szorzatához egyet hozzáadunk, akkor négyzetszámot kapunk.
1. Legyenek a szomszédos pozitív egészek a-1, a, a+1. Ekkor
(a-1)^3+a^3+(a+1)^3=a^3-3a^2+3a-1+a^3+a^3+3a^2+3a+1=3a^3+6a=3a(a^2+2).
Ez pontosan akkor osztható 18-cal, ha a(a^2+2) osztható 6-al. Mivel "a" és a^2+2 paritása megegyezik, ez pontosan akkor páros, ha "a" páros. Hárommal pedig mindenképpen osztható: ha "a" osztható hárommal, akkor nyilvánvaló; ha pedig "a" nem osztható 3-al, akkor a négyzetének hármas maradéka 1, így a^2+2 3-al osztható.
Összegezve: akkor és csak akkor teljesül a 18-cal való oszthatóság, ha a középső szám ("a") páros.
2. Legyenek az egymás utáni pozitív egészek a-1,a,a+1,a+2. Ekkor
(a-1)a(a+1)(a+2)+1=(a^2-1)(a^2+2a)+1=a^4+2a^3-a^2-2a+1=(a^2+a-1)^2.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!