Hogyan bizonyítanátok/oldanátok meg?

1. Legyenek a szomszédos pozitív egészek a-1, a, a+1. Ekkor

(a-1)^3+a^3+(a+1)^3=a^3-3a^2+3a-1+a^3+a^3+3a^2+3a+1=3a^3+6a=3a(a^2+2).

Ez pontosan akkor osztható 18-cal, ha a(a^2+2) osztható 6-al. Mivel "a" és a^2+2 paritása megegyezik, ez pontosan akkor páros, ha "a" páros. Hárommal pedig mindenképpen osztható: ha "a" osztható hárommal, akkor nyilvánvaló; ha pedig "a" nem osztható 3-al, akkor a négyzetének hármas maradéka 1, így a^2+2 3-al osztható.

Összegezve: akkor és csak akkor teljesül a 18-cal való oszthatóság, ha a középső szám ("a") páros.

2. Legyenek az egymás utáni pozitív egészek a-1,a,a+1,a+2. Ekkor

(a-1)a(a+1)(a+2)+1=(a^2-1)(a^2+2a)+1=a^4+2a^3-a^2-2a+1=(a^2+a-1)^2.