A matematika ellentmondásmentes?

Szia!

Eszem ágában sincs beleásnom magam mélyen a témába, örülök, hogy öt félév egyetemi matek után végre nem kell vele foglalkoznom. De azért körülnéztem, és ezt találtam, ami talán a legjobban megközelíti a kérdést:

[link]

Egyébként vigyázz, az ellentmondás nem ugyanaz, mint a paradoxon, a paradoxon csupán látszólagos ellentmondás, egy meglepő eredmény, ami olykor meglepő, de helyénvaló magyarázatot igényel. A kis keresgélésem alapján úgy találtam, hogy a matematika ellentmondásmentes, de paradoxonokat találunk benne.

nekem a kedvencem a az egyenletek, amikor olyan dolog jön ki, amitől azt mondjuk hogy az egyenletnek nincs megoldása...

én meg ilyenkor mindig halálra idegesítettem a tanárt hogy van megoldás: az a megoldás hogy nincs megoldás :D

Mindig van egy egyenletnek megoldása.

Idegesítsd pl. inkább azzal, hogy pl. egy negatív diszkriminánst írj fel egy komplex szám formájában, aztán közöld, hogy ennek van megoldása a komplex számok körében, és mi butaság, hogy nem foglalkoztok vele.

Igazad lesz, és a tanár meg idegesebb:)

Vagy éppenséggel elkezd mesélni a komplex számokról, és a dolgozatban is visszakérdi őket.

Van egy ilyen program, de ha megoldják, akkor vagy ellentmondást találnak, vagy azt, hogy nem lehet belátni, hogy van vagy nincs ellentmondás.

A matematika... a matematikus nem tud abszolút állításokat megfogalmazni. Azt tudja mondani: nekem van egy ilyen elképzelésem bizonyos nagyon alapvető dolgokról. És, úgy gondolom, hogy bizonyos típusú levezetéseket el kell fogadnunk. Ha Te ezekkel az alapvetésekkel egyetértesz akkor tudunk érdekes dolgokról beszélni amelyeknek van gyakorlati haszna is.

Tehát, vannak axiómáid és levezetési szabályaid. Azt tudjuk hogy ha, hogy egy állítás és az ellentetje is levezethető akkor már bármi levezethető. Ha ilyen állítás nincsen, akkor ez egy konzisztens axiómarendszer.

Gödel második nemteljességi tétele azt mondja hogy minden (legalábbis minden gyakorlatban is használható) axiómarendszer konzisztenciája abban a rendszerben nem bizonyítható. Amit Te "A matematika" néven illetsz, az a Zermelo–Fraenkel axiómarendszer (a kiválasztási axiómával kiegészítve) és az is ez alá esik, bizonyított, hogy nem bizonyítható.

A Banach-Tarski "paradoxon" csak annyiban paradoxon hogy az elemi geometriai intuíciónak ellentmond, a kiválasztási axiómára épít. Ha most azt kérdezed, hogy akkor miért veszünk be ilyen furcsa axiómát, nos azért mert a naív halmazelméletben is szerepel csak éppen nincs formalizálva (és ez vezet a borbélyparadoxonhoz). A kiválasztási axiómával egyenértékű az a tétel hogy minden vektortérnek létezik bázisa és hát anélkül meg nehéz "matematikát" :) csinálni.