Barátomnak megígértem, hogy segítek matekban, de van amiben én is elakadtam. Részletes megoldásra lennék kíváncsi, segítene valaki? : )

[link]

expressionba beírni:

x^2+y^2=25

4x-2y=7

2x-b

b=0

A b csúszkával állítható,

az egyenlet:y=2x+b az eredeti átrendezéséből jön, csak a konstans helyett b van.

Ha a kor és az egyenes egyenletét egybeirtjuk:

expressionba írd:

x^2+(2x-b)^2=25

1. Az adott egyenes egyenlete átalakítható: y=2x-7/2. Innen leolvasható, hogy a meredeksége 2.

Tehát olyan egyenest keresünk, aminek a meredeksége 2, és érinti az adott kört.

Általában egy 2 meredekségű egyenes egyenlete: y=2x+b. b-t kell meghatároznunk úgy, hogy a kört érintse ez az egyenes.

Ennek az egyenesnek a körrel vett metszéspontjait úgy kapjuk meg, ha ezt az y-t behelyettesítjük a kör egyenletébe:

x^2+(2x+b)^2=25,

kifejtve:

5x^2+4bx+b^2-25=0.

Az egyenesünk akkor érintő, ha ennek az egyenletnek pontosan egy megoldása van, azaz a diszkriminánsa 0:

16b^2-4*5*(b^2-25)=0.

Innen b=5*gyök5 vagy b=-5*gyök5.

Tehát a keresett egyenesek egyenletei:

y=2x+5*gyök5, y=2x-5*gyök5.

2. A (0,4) pontra illeszkedő egyenesek egyenletei általában y=mx+4 alakúak, ha m a meredekségük. Ezen kívül van még egy egyenes a (0,4) ponton keresztül, amelynek nincsen meredeksége: ez az y-tengely. Az y-tengely (x=0 egyenes) érinti a kört, tehát a feladatunknak az egy megoldása.

Az y=mx+4 alakú egyenesek közül pedig az előző feladatban látott módon kereshetjük meg az érintőt.

Egy ilyen egyenes metszéspontjai a körrel úgy kaphatóak, ha az egyenletben kifejezett y-t behelyettesítjük a kör egyenletébe (x^2+(mx+4)^2-4x=0), és ennek az egyenletnek egy megoldásának kell lennie, tehát a diszkriminánsa 0.

Ezt innen szerintem végig tudod számolni, segítségképpen a diszkrimináns (8m-4)^2-4*16*(1+m^2) lesz, és ez pontosan akkor 0, ha m=-3/4.

A megoldások tehát:

x=0, y=-3/4x+4.

3. Ha két kör érinti egymást, akkor a középpontjaikat összekötő egyenes átmegy az érintési ponton. Az adott kör középpontja (0,0), ezt a (-3,-4) ponttal összekötő egyenes egyenlete y=4/3x. Szóval a keresett kör középpontja az y=4/3x egyenesen van, a (-3,-4) ponttól 8 egység távolságra. Tehát ezt az egyenest el kell metszeni a (-3,-4) középpontú, 8 sugarú körrel.

Ennek a körnek az egyenlete (x+3)^2+(y+4)^2=64.

Ide be kell helyettesíteni y=4/3x-et és megoldani az egyenletet.

A kapott (x,y) párok (két megoldást kell kapni) adják a keresett körök középpontjait. A sugár pedig ismert, hogy 8, innen a kör egyenlete felírható.

Ja, még, annyit, hogy amely b nél 1 megoldása van a másodfokúnak az az érintési pont.

[link]

innen b=gyök125