Meg tudná oldani valaki a feladatot? A menete is kellene.

A 4k+2 és 4k+3 alakú n-ekre lehet ezt megcsinálni.

Hogy csak ezekre:

Tegyük fel, hogy adott n-re találtunk egy ilyen felírást, amire a fenti összeg a megfelelő "+" és "-" jelekkel n+1.

Jelölje X azoknak a számoknak az összegét,amik elé "+" jelet írtunk, és Y azoknak a számoknak az összegét, amik elé "-" jelet.

Ekkor X+Y = 1+2+3+..+n =n(n+1)/2, és X-Y = n+1 (a feltétel szerint)

Ebből X = (n+1)(n+2)/4, és Y = (n+1)(n-2)/4. Mivel X és Y is egész számok, ezért n 4gyel osztva 2 vagy 3 maradékot ad (azaz 4k+2 vagy 4k+3 alakú). Ezzel beláttuk, hogy csak ilyen alakúak lehetnek jók.

Hogy az ilyen alakúak jók:

Vegyük pl. a 4k+2 alakú n-eket. Ez első ilyen az n=2 (k=0). Itt 1+2=3, tehát ez jó. Innen teljes indukció k szerint: tegyük fel, hogy 4k+2-re már van a feladatnak megfelelő "jó" +/- sorozatunk, akkor keresünk 4(k+1)+2-re is egyet. Ezt úgy tesszük, hogy csak a sorozatba újonnan bekerülő számokra (4k+3, 4k+4, 4k+5, 4k+6) fogjuk eldönteni a +/- jelet, a többire marad az eddig is használtak (azaz: 1+2=3 már megvan, most keressük n=6-re, azt ilyen formában 1+2*3*4*5*6 = 7). Az egyenlőség jobboldalán ekkor 4k+3 helyett 4k+7 fog állni, a baloldali összeg már meglévő része 4k+3-at fog adni, tehát a *(4k+3)*(4k+4)*(4k+5)*(4k+6) kifejezésből a +/- jelek behelyettesítésével 4-et kell kihozni összegként. Ez megy: (4k+6)+(4k+5)-(4k+4)-(4k+3).

Ezzel az összes 4k+2 alakú számra beláttuk, hogy a feladat megoldható.

A 4k+3 alakú számokra ugyanígy megy, ott n=3 az első ilyen, erre -1+2+3=4.

Szép feladat. Hol találtad?